Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função f(x)=sen(x) no intervalo [0, pi] usando uma soma com 6 retângulos. Você pode escolher o tipo de soma.

Passo 1

A questão pede aproximar a área sob o gráfico de f(x)=sin(x) no intervalo [0,pi] usando uma soma de Riemann com 6 retângulos. O conteúdo envolvido é o cálculo aproximado de integrais por soma de retângulos e vamos escolher a regra do ponto médio para ter melhor precisão.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,pi] em 6 subintervalos iguais. A largura de cada retângulo é
De
No esboço, desenhe o gráfico de sin(x) de 0 a pi e sobreponha 6 retângulos de base De cujas alturas serão definidas pelos valores médios.

Passo 3

Para a regra do ponto médio, cada retângulo usa o valor de f no ponto médio de cada subintervalo. Se xi = itfracpi6, então o ponto médio é
xi^* = xi-1 + xi2 = (i-1)pi6 + ipi62 = 2i-112,pi,
com i=1,2,dots,6. A altura do i-ésimo retângulo é sin(xi^*).

Passo 4

Calculamos sin(xi^*) para i=1,dots,6:
sinl(tfracpi12r)=raiz6-raiz24, sinl(tfrac3pi12r)=raiz22, sinl(tfrac5pi12r)=raiz6+raiz24,
sinl(tfrac7pi12r)=raiz6+raiz24, sinl(tfrac9pi12r)=raiz22, sinl(tfrac11pi12r)=raiz6-raiz24

Passo 5

Agora somamos as áreas dos 6 retângulos:
Área approx sumi=1^6 f(xi^*),DeÁ

Passo 6

Portanto, usando a regra do ponto médio com 6 retângulos, obtemos uma aproximação da integral integral0^pisin(x),dx igual a cerca de 2.023.

Resposta

A aproximação da área sob sin(x) em [0,pi] usando 6 retângulos pela regra do ponto médio é aproximadamente 2.023.

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