Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot(2 n-1)}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot ··· \cdot(3 n-2)}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad\text{onde}\quad a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)}.
As perguntas são:
  • A série é convergente ou divergente? (usar o Teste da Razão).
  • Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informações dadas explícitas:
  • O termo geral a_n é o quociente de dois produtos em progressão aritmética:
    • Numerador: produto dos ímpares até 2n-1, i.e. \prod_{k=1}^{n}(2k-1).
    • Denominador: produto \prod_{k=1}^{n}(3k-2) (termos 1,4,7,\dots,3n-2).

Passo 2

Lembrete do Teste da Razão (enunciado em palavras simples):
  • Seja \{a_n\} uma sequência de termos positivos. Compute L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar esse teste passo a passo ao a_n dado.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} mostrando o cancelamento dos produtos.
Escrevendo os produtos,
a_n=\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n}(3k-2)}, \qquad a_{n+1}=\frac{\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-2)}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(3k-2)} \cdot \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(3k-2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}.
Agora observa que todos os fatores comuns \prod_{k=1}^{n}(2k-1) e \prod_{k=1}^{n}(3k-2) cancelam, sobrando apenas os últimos fatores não canceláveis:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(n+1)-1}{3(n+1)-2}=\frac{2n+1}{3n+1}.

Passo 4

Calcular o limite da razão e concluir pelo teste.
Tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+1}=\frac{2}{3}.
Como L=\dfrac{2}{3}<1, o Teste da Razão garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge absolutamente (portanto converge).
(Comentário encorajador: ótimo — o cálculo da razão foi simples porque os produtos se cancelaram deixando apenas os últimos fatores. Já é meio caminho andado.)

Passo 5

Ver se podemos obter a soma em forma fechada. Vamos transformar a_n em uma forma que permita identificar a série com uma função conhecida.
Primeiro escrevemos a_n usando o símbolo de Pochhammer (fatorial crescente). Note que, pelo fato de \Gamma(z+n)=\Gamma(z)(z)_n, tem-se
\prod_{k=1}^{n}(2k-1)=\prod_{k=0}^{n-1}(2k+1)=2^{n}\prod_{k=0}^{n-1}\Big(k+\tfrac{1}{2}\Big) =2^{n}\,\Gamma\!\Big(\tfrac{1}{2}\Big)\,\Big(\tfrac{1}{2}\Big)_n,
e
\prod_{k=1}^{n}(3k-2)=\prod_{k=0}^{n-1}(3k+1)=3^{n}\prod_{k=0}^{n-1}\Big(k+\tfrac{1}{3}\Big) =3^{n}\,\Gamma\!\Big(\tfrac{1}{3}\Big)\,\Big(\tfrac{1}{3}\Big)_n.
Dividindo, obtemos (os fatores \Gamma(\tfrac{1}{2}) e \Gamma(\tfrac{1}{3}) se cancelam):
a_n=\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)}{1\cdot4\cdot\cdots(3n-2)} =\Big(\frac{2}{3}\Big)^n\frac{\big(\tfrac{1}{2}\big)_n}{\big(\tfrac{1}{3}\big)_n}.
Isso é uma forma muito conveniente: o termo geral é um coeficiente envolvendo Pochhammer multiplicado por \big(\tfrac{2}{3}\big)^n.

Passo 6

Reconhecer a série como função hipergeométrica e escrever a soma.
A série que temos é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{2}{3}\Big)^n\frac{\big(\tfrac{1}{2}\big)_n}{\big(\tfrac{1}{3}\big)_n}.
Note que a função hipergeométrica de Gauss {}_2F_{1} tem a expansão
{}_2F_{1}(a,1;b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(1)_n}{(b)_n}\frac{z^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(b)_n}z^n,
pois (1)_n=n! e cancela com o n! no denominador da definição usual. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\big(\tfrac{1}{2}\big)_n}{\big(\tfrac{1}{3}\big)_n}\Big(\frac{2}{3}\Big)^n ={}_2F_{1}\!\Big(\tfrac{1}{2},1;\tfrac{1}{3};\tfrac{2}{3}\Big).
A nossa soma começa em n=1, então subtraímos o termo n=0 (que é 1). Logo a soma da série pedida é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n ={}_2F_{1}\!\Big(\tfrac{1}{2},1;\tfrac{1}{3};\tfrac{2}{3}\Big)-1.

Passo 7

Interpretação final e observação prática.
  • Convergência: pelo Teste da Razão temos convergência absoluta porque o limite da razão é 2/3<1.
  • Soma: a série possui representação exata em termos da função hipergeométrica de Gauss conforme escrito acima. Não existe uma forma elementar simples (em termos de polinômios, exponenciais ou logaritmos usuais) conhecida para esse valor; a expressão com {}_2F_{1} é a forma fechada padrão.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo Teste da Razão, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\tfrac{2}{3}<1).
A soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)} ={}_2F_{1}\!\Big(\tfrac{1}{2},1;\tfrac{1}{3};\tfrac{2}{3}\Big)-1.

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