Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right){n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma quando possível. A série dada é
Se L<1, então a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, então a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui usaremos esse teste porque o enunciado indicou explicitamente “Teste da Razão” e porque os termos são potências, o que torna o cálculo do quociente simples.
Passo 3
Calcular L para esta série.
O termo geral é a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Então
Encontramos L=\dfrac{2}{3}. Como \dfrac{2}{3}<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. Portanto a série converge.
(Comentário amigo: como a razão em módulo ficou menor que 1, as potências vão ficando pequeninhas rápido — é por isso que converge.)
Passo 5
Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica.
A série é uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} ou, mais diretamente, \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com r=-\dfrac{2}{3}. Para uma série geométrica infinita com primeiro termo a_1 e razão comum r, se |r|<1 então a soma vale
Aqui podemos usar a forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\dfrac{r}{1-r} (é a mesma fórmula com a_1=r). Para justificar rapidamente: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}r^{n} satisfazem
S_N=r\frac{1-r^{N}}{1-r},
e, como |r|<1, tem-se r^{N}\to0 quando N\to\infty, daí a soma infinita é \dfrac{r}{1-r}.
No nosso caso, r=-\dfrac{2}{3} e a_1=\left(-\dfrac{2}{3}\right). Aplicando a fórmula: