Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right){n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma quando possível. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.
Informações fornecidas e coisas a observar:
  • O termo geral da série é a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n} para n\ge1.
  • A série é uma soma infinita de termos da forma r^{n} com r=-\dfrac{2}{3}.
  • Precisa-se decidir convergência (e tipo: condicional/absoluta) e, se convergente, calcular a soma.

Passo 2

Apresentar o Teste da Razão e interpretar como vamos usá-lo aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte. Seja uma série com termos a_n (não necessariamente positivos). Defina o número
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
As conclusões são:
  • Se L<1, então a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui usaremos esse teste porque o enunciado indicou explicitamente “Teste da Razão” e porque os termos são potências, o que torna o cálculo do quociente simples.

Passo 3

Calcular L para esta série.
O termo geral é a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Então
a_{n+1}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
Agora calcule o quociente em módulo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n}}\right| = \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}.
Esse valor não depende de n, logo
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2}{3}.

Passo 4

Interpretação do resultado do Teste da Razão.
Encontramos L=\dfrac{2}{3}. Como \dfrac{2}{3}<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. Portanto a série converge.
(Comentário amigo: como a razão em módulo ficou menor que 1, as potências vão ficando pequeninhas rápido — é por isso que converge.)

Passo 5

Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica.
A série é uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} ou, mais diretamente, \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com r=-\dfrac{2}{3}. Para uma série geométrica infinita com primeiro termo a_1 e razão comum r, se |r|<1 então a soma vale
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1}=\frac{a_1}{1-r}.
Aqui podemos usar a forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\dfrac{r}{1-r} (é a mesma fórmula com a_1=r). Para justificar rapidamente: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}r^{n} satisfazem
S_N=r\frac{1-r^{N}}{1-r},
e, como |r|<1, tem-se r^{N}\to0 quando N\to\infty, daí a soma infinita é \dfrac{r}{1-r}.
No nosso caso, r=-\dfrac{2}{3} e a_1=\left(-\dfrac{2}{3}\right). Aplicando a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} = \frac{-\dfrac{2}{3}}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}.

Passo 6

Fazer as contas finais (passo a passo aritmético).
Calcule o denominador:
1-\left(-\frac{2}{3}\right)=1+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Agora divida:
\frac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{3}} = -\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5} = -\frac{2}{5}.

Resposta

A série converge absolutamente e sua soma é -\dfrac{2}{5}.

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