Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}{+\infty}(\sqrt[n]{5}-1){n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(\sqrt[n]{5}-1\bigr)^{n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informações que temos:
O termo geral da série é a_n=\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}.
Não há outras condições ou parâmetros; a série começa em n=1.
Passo 2
Apresentar o teste que vamos usar (Teste da Raiz, também conhecido como critério de Cauchy):
Definição / enunciado do teste da raiz:
Sejam a_n os termos de uma série. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
Se L>1 então a série diverge.
Se L=1 o teste é inconclusivo.
Intuição rápida (sem formalidade excessiva): a quantidade \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} mede “qual é a razão típica” do termo quando se pensa numa potência; se essa razão é menor que 1 no limite, os termos caem geometricamente e a soma converge.
Passo 3
Aplicar o teste da raiz ao nosso termo a_n=\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}.
Calcular a n-ésima raiz do valor absoluto do termo:
Para ver esse limite, escrevemos 5^{1/n}=e^{\ln(5)/n}. Como \ln(5)/n\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}5^{1/n}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl(5^{1/n}-1\bigr)=0.
Logo o valor L do teste da raiz é L=0.
Como L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Isso implica que a série converge.
(Empurrão encorajador: isso é bem forte — o fato de a raiz ir para zero significa que os termos caem muito rápido.)
Passo 4
Agora verificar se é possível calcular a soma em forma fechada.
Observação sobre a soma: a expressão da soma
S=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}
não tem uma forma fechada conhecida em termos de funções elementares usuais. Não existe uma identidade simples tipo soma de uma progressão geométrica ou uma série conhecida que nos dê S exatamente. Portanto vamos fornecer uma aproximação numérica via somas parciais (método prático para a prova: mostrar convergência e, se pedirem, dar aproximação).
Calcular alguns termos e somas parciais (cada cálculo mostrado para que se possa reproduzir na prova):