Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}{+\infty}(\sqrt[n]{5}-1){n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(\sqrt[n]{5}-1\bigr)^{n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informações que temos:
  • O termo geral da série é a_n=\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}.
  • Não há outras condições ou parâmetros; a série começa em n=1.

Passo 2

Apresentar o teste que vamos usar (Teste da Raiz, também conhecido como critério de Cauchy):
Definição / enunciado do teste da raiz:
Sejam a_n os termos de uma série. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
  • Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 então a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Intuição rápida (sem formalidade excessiva): a quantidade \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} mede “qual é a razão típica” do termo quando se pensa numa potência; se essa razão é menor que 1 no limite, os termos caem geometricamente e a soma converge.

Passo 3

Aplicar o teste da raiz ao nosso termo a_n=\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}.
Calcular a n-ésima raiz do valor absoluto do termo:
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}=\sqrt[n]{\bigl\lvert 5^{1/n}-1\bigr\rvert^{n}}=\bigl\lvert 5^{1/n}-1\bigr\rvert.
(Expliquei: a raíz n-ésima de algo elevado a n recupera o valor absoluto.)
Agora calcule o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\bigl\lvert 5^{1/n}-1\bigr\rvert =\lim_{n\to\infty}\bigl(5^{1/n}-1\bigr),
pois 5^{1/n}>0 para todo n.
Para ver esse limite, escrevemos 5^{1/n}=e^{\ln(5)/n}. Como \ln(5)/n\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}5^{1/n}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl(5^{1/n}-1\bigr)=0.
Logo o valor L do teste da raiz é L=0.
Como L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Isso implica que a série converge.
(Empurrão encorajador: isso é bem forte — o fato de a raiz ir para zero significa que os termos caem muito rápido.)

Passo 4

Agora verificar se é possível calcular a soma em forma fechada.
Observação sobre a soma: a expressão da soma
S=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(5^{1/n}-1\bigr)^{n}
não tem uma forma fechada conhecida em termos de funções elementares usuais. Não existe uma identidade simples tipo soma de uma progressão geométrica ou uma série conhecida que nos dê S exatamente. Portanto vamos fornecer uma aproximação numérica via somas parciais (método prático para a prova: mostrar convergência e, se pedirem, dar aproximação).
Calcular alguns termos e somas parciais (cada cálculo mostrado para que se possa reproduzir na prova):
  • n=1:\quad \bigl(5^{1/1}-1\bigr)^{1}=5-1=4.
  • n=2:\quad \bigl(5^{1/2}-1\bigr)^{2}=\bigl(\sqrt{5}-1\bigr)^{2}\approx1{,}5275252317.
  • n=3:\quad \bigl(5^{1/3}-1\bigr)^{3}\approx0{,}356988 (usando 5^{1/3}\approx1{,}709975947).
  • n=4:\quad \bigl(5^{1/4}-1\bigr)^{4}\approx0{,}060215 (usando 5^{1/4}\approx1{,}495348781).
  • n=5:\quad \bigl(5^{1/5}-1\bigr)^{5}\approx0{,}007897.
  • n=6:\quad \bigl(5^{1/6}-1\bigr)^{6}\approx0{,}000837.
Somas parciais:
\begin{aligned} S_1&=4,\\\ S_2&\approx4+1{,}5275252317=5{,}5275252317,\\\ S_3&\approx5{,}5275252317+0{,}356988=5{,}8845132317,\\\ S_4&\approx5{,}8845132317+0{,}060215=5{,}9447282317,\\\ S_5&\approx5{,}9526252317,\\\ S_6&\approx5{,}9534622317. \end{aligned}
Os termos além de n=6 são já extremamente pequenos, por isso a soma converge rapidamente. A partir dessas parciais, uma boa aproximação numérica é
S\approx5{,}95354\quad(\text{aproximação até 5 casas decimais confiável}).çãéá

Passo 5

Resumindo e concluindo de forma direta:
  • Pelo teste da raiz obtivemos L=0<1, logo a série converge absolutamente.
  • Não há soma fechada conhecida em termos de funções elementares; a soma numérica aproximada é S\approx5{,}95354.

Resposta

A série converge absolutamente.
A soma é aproximadamente 5{,}95354.

Exercícios relacionados