Em cada um dos exercícios abaixo, faça o diagrama de corpo livre de todos os objetos.
Suponha que um bloco de massa M está inicialmente em repouso sobre uma superfície cujo coeficiente de atrito estático é muE. Devido a um sistema hidráulico, a superfície começa a se inclinar a uma taxa constante. Qual deve ser o ângulo máximo para que o bloco permaneça em repouso sobre a superfície? Suponha agora que atingido o ângulo máximo o bloco começa a se mover. Se muK é o coeficiente de atrito cinético, qual será a aceleração do bloco durante o movimento de descida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um bloco com massa $ M $ que está parado em uma superfície inclinada. A superfície tem um coeficiente de atrito estático $ \mu_E $. A inclinação da superfície está aumentando de forma constante. Queremos descobrir:
  1. Qual é o ângulo máximo que a superfície pode ter para que o bloco continue parado.
  2. Qual será a aceleração do bloco quando esse ângulo máximo for ultrapassado e ele começar a deslizar, considerando que o coeficiente de atrito cinético é $ \mu_K $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças em planos inclinados e leis do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ângulo máximo $ \theta_{max} $ para que o bloco permaneça em repouso.
Quando a superfície está inclinada, duas forças principais atuam no bloco:
  1. Força gravitacional $ mg $ (para baixo).
  2. Força de atrito estático que impede o movimento.
A força gravitacional pode ser decomposta em duas componentes:
  • Paralela à superfície: $ mg \sin(\theta) $ (tende a fazer o bloco deslizar para baixo).
  • Perpendicular à superfície: $ mg \cos(\theta) $ (afeta a força de atrito).
Para que o bloco não deslize, a força de atrito estático $ f_{atrito estático} $ precisa ser igual ou maior que a componente paralela da força gravitacional:
thetamax á
Sabemos que:
mg á
Onde $ N $ é a força normal, que aqui é igual à componente perpendicular da força gravitacional:
mg sin(theta)
Substituindo:
mg cos(theta)
Podemos simplificar $ mg $ dos dois lados:
fatrito estático
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\theta) $:
fatrito estático >= mg sin(theta)
Portanto, o ângulo máximo $ \theta_{max} $ ocorre quando:
fatrito estático = muE N
Então:
N

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração $ a $ do bloco quando o ângulo ultrapassa $ \theta_{max} $ e ele começa a deslizar.
Nesse caso, o atrito que atua é o cinético, com coeficiente $ \mu_K $.
As forças que atuam são:
  • Paralela à superfície: $ mg \sin(\theta) $ (força que faz o bloco deslizar para baixo).
  • Atrito cinético: $ f_{atrito cinético} = \mu_K N = \mu_K mg \cos(\theta) $ (força que resiste ao movimento).
A força resultante $ F_{resultante} $ que causa a aceleração é:
a
Pela segunda lei de Newton:
thetamax
Então:
muK
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados (assumindo que $ M = m $):
mg sin(theta)
Portanto, a aceleração $ a $ é:
fatrito cinético = muK N = muK mg cos(theta)

Resposta

O ângulo máximo para que o bloco permaneça em repouso é $ \theta_{max} = \arctan(\mu_E) $. Quando a inclinação ultrapassa esse ângulo, a aceleração do bloco durante a descida é $ a = g (\sin(\theta) - \mu_K \cos(\theta)) $.

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