Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = 1/x, n = 15.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a função é e precisamos encontrar a sua décima quinta derivada, ou seja, . Aqui, vamos usar o conhecimento de derivadas de funções potenciais e entender como calcular derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Sabemos que pode ser escrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra de derivação para potências de . Se , então a derivada de em relação a é:
Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de qualquer função que seja uma potência de .

Passo 4

Vamos aplicar essa regra para encontrar as primeiras derivadas de e identificar um padrão que nos permita generalizar para a 15ª derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Observamos que o coeficiente está seguindo um padrão que envolve fatorial e sinais alternados.

Passo 5

A partir das derivadas calculadas, percebemos que a -ésima derivada de pode ser expressa pela fórmula geral:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 6

Agora, vamos aplicar essa fórmula para :

Passo 7

Simplificando a expressão:
Ou, de forma equivalente:

Resposta

A décima quinta derivada de é:

Exercícios relacionados