Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = csc(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções trigonométricas compostas. Vamos precisar lembrar das regras de derivação para funções trigonométricas e da regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função cotangente inversa, ou seja, . Para derivar , onde é uma função de , usamos a regra da derivada para funções compostas.

Passo 3

A regra da derivada para funções compostas (ou regra da cadeia) nos diz que se temos uma função , sua derivada é . No nosso caso, , então precisamos derivar com relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos derivar . Sabemos que:
Isso vem da derivada padrão da função .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo :

Resposta

A derivada de é:

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