Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (e) g(t)=\sin ^{2}(3 t)+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t) = \sin^{2}\bigl(3t\bigr) + 1
e pede:
  1. Determinar g'(t).
  2. Encontrar as raízes de g'(t), ou seja, os t tais que g'(t)=0.
  3. Identificar o domínio de g'(t).
Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Cálculo de g'(t) pela regra da cadeia.
Seja u(t)=3t. Então g(t)=\sin^{2}\bigl(u(t)\bigr)+1.
Primeiro derivamos \sin^{2}(u) em relação a u:
\frac{d}{du}\bigl(\sin^{2}u\bigr) =2\sin u\cdot\cos u =\sin(2u).
Agora derivamos u(t)=3t:
u'(t)=3.
Aplicando a regra da cadeia:
g'(t) =\frac{d}{du}\bigl(\sin^{2}u\bigr)\biggr\rvert_{u=3t}\cdot u'(t) =\sin\bigl(2\cdot 3t\bigr)\cdot 3 =3\sin(6t).

Passo 3

Encontrar as raízes de g'(t)=3\sin(6t)=0.
Como o fator 3 nunca anula, basta resolver
\sin(6t)=0.
Isso ocorre quando
6t = k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Logo as soluções são
t = \frac{k\pi}{6}, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Domínio de g'(t).
A função g(t) é soma e composição de seno e polinômio, que são definidos para todo t\in\mathbb{R}. Portanto
\text{Domínio de }g'(t)=\mathbb{R}.í

Resposta

g'(t)=3\sin(6t).
As raízes de g'(t) são
t = \frac{k\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}.
O domínio de g'(t) é \mathbb{R}.

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