Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (f) g(t)=\ln \left(t^{2}+4 t+14\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\ln\bigl(t^{2}+4t+14\bigr)
e pede a derivada g'(t), as raízes de g'(t)=0 e o domínio de g'(t). Aqui usaremos a regra da cadeia para derivar o logaritmo e depois analisaremos o numerador para encontrar as raízes e o discriminante da expressão quadrática para o domínio.

Passo 2

Para derivar \ln(u) usamos
\frac{d}{dt}\ln\bigl(u(t)\bigr)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
No nosso caso u(t)=t^{2}+4t+14, logo
u'(t)=2t+4.
Portanto
g'(t)=\frac{2t+4}{t^{2}+4t+14}.

Passo 3

As raízes de g'(t)=0 ocorrem quando o numerador se anula, isto é
2t+4=0 \quad\Longrightarrow\quad t=-2.

Passo 4

O domínio de g'(t) exige que o denominador não seja zero e que o argumento do logaritmo seja positivo. Como
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot14=16-56=-40<0,
a expressão t^{2}+4t+14 é sempre positiva e nunca anula. Logo o domínio de g'(t) é todo o conjunto dos números reais, isto é \mathbb{R}.

Resposta

g'(t)=\dfrac{2t+4}{t^{2}+4t+14}.
Raiz de g'(t)=0: t=-2.
Domínio de g'(t): \mathbb{R}.

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