Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado fornece a função
As tarefas pedidas são:
- Determinar a inversa
. - i. Determinar o domínio e a imagem de
e de . - ii. Verificar se
também é uma função de primeiro grau. - iii. Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de
e .
Passo 2
O que é achar a inversa na prática (a regra passo a passo).
- Começar representando a função por
, isto é:
- Trocar
por e por (isso corresponde a refletir o gráfico em relação à reta ):
- Resolver essa equação para
. O resultado será .
Essa é a técnica padrão para encontrar inversas: trocar as variáveis e isolar a nova.
Passo 3
Isolando
na equação
:
Portanto a inversa é
Passo 4
Verificação algébrica rápida (composição) para garantir que é de fato a inversa.
- Calcular
:
- Calcular
:
Como ambas composições retornam
, a fórmula encontrada é corretamente a inversa.
Passo 5
Domínio e imagem — definição rápida e aplicação.
- Definição curta: o domínio de uma função são os valores de entrada
que podem ser usados; a imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto de valores que a função atinge. - A função dada pode ser escrita como
uma reta com coeficiente angular
. Retas com coeficiente angular não nulo assumem todos os valores reais quando
varia em todos os reais. Assim:
- Para a inversa vale a propriedade geral: o domínio de
é a imagem de e a imagem de é o domínio de . Portanto:
Passo 6
Verificação se
é função de primeiro grau.
- Uma função de primeiro grau tem a forma
com . - Aqui
que é da forma
com
. Logo
também é função de primeiro grau.
Passo 7
Ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
- Geometricamente, o gráfico de
é a reflexão do gráfico de na reta . Os pontos que permanecem iguais após essa reflexão são exatamente os pontos que satisfazem . Portanto as interseções entre os dois gráficos ocorrem nos pontos em que . - Resolver:
Substituindo em
obtemos
. Assim o ponto de interseção é
.
Passo 8
Recapitulando de maneira direta (útil para colar na prova):
- A inversa é
. - Domínio e imagem de ambas são
. -
é função de primeiro grau. - O ponto de interseção dos gráficos é
.
Resposta
Sim,
Ponto de interseção: