Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=\frac{5 x+3}{2}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{5x+3}{2}.
As tarefas pedidas são:
  • Determinar a inversa f^{-1}(x).
  • i. Determinar o domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x).
  • ii. Verificar se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
  • iii. Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).

Passo 2

O que é achar a inversa na prática (a regra passo a passo).
  • Começar representando a função por y=f(x), isto é:
y=\frac{5x+3}{2}.
  • Trocar x por y e y por x (isso corresponde a refletir o gráfico em relação à reta y=x):
x=\frac{5y+3}{2}.
  • Resolver essa equação para y. O resultado será y=f^{-1}(x).
    Essa é a técnica padrão para encontrar inversas: trocar as variáveis e isolar a nova y.

Passo 3

Isolando y na equação x=\dfrac{5y+3}{2}:
2x=5y+3,
5y=2x-3,
y=\frac{2x-3}{5}.
Portanto a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{2x-3}{5}.

Passo 4

Verificação algébrica rápida (composição) para garantir que é de fato a inversa.
  • Calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\frac{5\!\left(\frac{2x-3}{5}\right)+3}{2}=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.
  • Calcular f^{-1}\bigl(f(x)\bigr):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{2\!\left(\frac{5x+3}{2}\right)-3}{5}=\frac{(5x+3)-3}{5}=\frac{5x}{5}=x.
Como ambas composições retornam x, a fórmula encontrada é corretamente a inversa.

Passo 5

Domínio e imagem — definição rápida e aplicação.
  • Definição curta: o domínio de uma função são os valores de entrada x que podem ser usados; a imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto de valores y que a função atinge.
  • A função dada pode ser escrita como
f(x)=\frac{5}{2}x+\frac{3}{2},
uma reta com coeficiente angular \dfrac{5}{2}\neq 0. Retas com coeficiente angular não nulo assumem todos os valores reais quando x varia em todos os reais. Assim:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},\qquad \text{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Para a inversa vale a propriedade geral: o domínio de f^{-1} é a imagem de f e a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Portanto:
\text{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R},\qquad \text{Im}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação se f^{-1} é função de primeiro grau.
  • Uma função de primeiro grau tem a forma ax+b com a\neq 0.
  • Aqui
f^{-1}(x)=\frac{2}{5}x-\frac{3}{5},
que é da forma ax+b com a=\dfrac{2}{5}\neq 0. Logo f^{-1} também é função de primeiro grau.

Passo 7

Ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}.
  • Geometricamente, o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f na reta y=x. Os pontos que permanecem iguais após essa reflexão são exatamente os pontos que satisfazem y=x. Portanto as interseções entre os dois gráficos ocorrem nos pontos em que f(x)=x.
  • Resolver:
\frac{5x+3}{2}=x
5x+3=2x
3x=-3
x=-1.
Substituindo em y=x obtemos y=-1. Assim o ponto de interseção é (-1,-1).

Passo 8

Recapitulando de maneira direta (útil para colar na prova):
  • A inversa é \;f^{-1}(x)=\dfrac{2x-3}{5}.
  • Domínio e imagem de ambas são \mathbb{R}.
  • f^{-1} é função de primeiro grau.
  • O ponto de interseção dos gráficos é (-1,-1).

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{2x-3}{5}
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},\\ \text{Im}(f)=\mathbb{R};\\ \text{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R},\\ \text{Im}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}
Sim, f^{-1}(x)=\dfrac{2x-3}{5} é função de primeiro grau.
Ponto de interseção: (-1,-1).

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