Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=7-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=7-2x
e pede três coisas:
  • Determinar a inversa f^{-1}(x).
  • Verificar:
    i. o domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x);
    ii. se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau;
    iii. o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explicitamente é f(x)=7-2x definida para x (presumivelmente) em todos os reais, salvo indicação contrária no enunciado.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Como se encontra a função inversa (ideia passo a passo, explicada):
  • Para achar a inversa de uma função dada por y=f(x), troca-se os papéis de x e y (ou seja, escreve-se x=f(y)) e resolve-se essa equação para y. O motivo: a inversa “desfaz” o efeito de f, então trocar x e y expressa essa reversão.
  • Aplicando isso a f(x)=7-2x: comece escrevendo y=7-2x, depois troque x e y e resolva para y.

Passo 3

Executando a troca e isolando y:
y=7-2x
troca x\leftrightarrow y:
x=7-2y.
Agora resolva para y. Primeiro isole o termo com y:
2y=7-x.
Divida por 2:
y=\frac{7-x}{2}.
Portanto a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{7-x}{2}.
Também é útil escrever em forma de coeficiente e intercepto:
f^{-1}(x)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}x.

Passo 4

Verificação da inversa por composição (mostrar que compor dá identidade):
  • Calcule f(f^{-1}(x)). Primeiro substitua x por f^{-1}(x) na definição de f:
f\!\big(f^{-1}(x)\big)=7-2\left(\frac{7-x}{2}\right).
Simplifique o parêntese:
f\!\big(f^{-1}(x)\big)=7- \big(7-x\big)=7-7+x=x.
  • Agora calcule f^{-1}(f(x)). Substitua x por f(x)=7-2x na expressão de f^{-1}:
f^{-1}\!\big(f(x)\big)=\frac{7-(7-2x)}{2}.
Simplificando:
f^{-1}\!\big(f(x)\big)=\frac{7-7+2x}{2}=\frac{2x}{2}=x.
Como ambas composições retornam x, a função encontrada é de fato a inversa correta.

Passo 5

Domínio e imagem — explicação didática:
  • Definições rápidas e intuitivas:
    • Domínio de uma função: conjunto de valores de x que podem ser inseridos na função.
    • Imagem (ou contradomínio efetivo) de uma função: conjunto de valores que a função efetivamente produz (valores de y).
  • Para uma função afim (reto não constante) g(x)=ax+b com a\neq0, qual é o domínio e a imagem? O domínio natural é todos os reais \mathbb{R} (não há divisão por zero nem raiz de índice par restritiva), e a imagem também é \mathbb{R} porque, para qualquer valor desejado y_0\in\mathbb{R}, existe um x=(y_0-b)/a tal que g(x)=y_0. Isso mostra que g é sobrejetora para \mathbb{R}. Se além disso a\neq0, também é injetora (valores diferentes de x geram valores diferentes de y).
  • Aplicando ao caso:
    • f(x)=7-2x é da forma ax+b com a=-2\neq0, logo seu domínio é \mathbb{R} e sua imagem é \mathbb{R}.
    • Como f é bijetora, sua inversa f^{-1} existe para todo x\in\mathbb{R}. A expressão f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{2} também é afim com coeficiente -\tfrac{1}{2}\neq0, portanto o domínio de f^{-1} é \mathbb{R} e a imagem de f^{-1} é \mathbb{R}.

Passo 6

Verificação se f^{-1}(x) é função de primeiro grau:
  • Uma função de primeiro grau (função afim) tem a forma g(x)=ax+b com a\neq0.
  • Já escrevemos
f^{-1}(x)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}x,
que pode ser reorganizada como
f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}.
Isto está exatamente na forma ax+b com a=-\tfrac{1}{2}\neq0. Portanto f^{-1} É sim uma função de primeiro grau.

Passo 7

Ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1} — ideia e cálculo:
  • Propriedade útil: o gráfico da inversa é a reflexão do gráfico da função original em torno da reta y=x. Os pontos de interseção desses dois gráficos pertencem à reta y=x, pois um ponto sobre a reta y=x é igual às suas coordenadas trocadas.
  • Dois caminhos para encontrar interseção:
    1. Resolver f(x)=f^{-1}(x) (ponto onde a altura dos dois gráficos é a mesma para o mesmo x).
    2. Resolver f(x)=x (encontrar pontos fixos; qualquer ponto comum a f e sua inversa satisfaz y=f(x) e y=f^{-1}(x), portanto tem y=x). Ambos levam ao mesmo resultado.
  • Vou resolver f(x)=x (mais direto):
7-2x=x.
Some 2x aos dois lados:
7 = 3x.
Portanto
x=\frac{7}{3}.
O valor de y é y=f(x)=7-2\cdot\frac{7}{3}=\frac{21-14}{3}=\frac{7}{3}. Assim o ponto de interseção é
\left(\frac{7}{3},\frac{7}{3}\right).

Passo 8

Resumo conceitual rápido (para a prova):
  • Para achar inversa de afim, trocar x e y e isolar y.
  • Uma função afim com coeficiente não nulo é bijetora em \mathbb{R}, então domínio e imagem são \mathbb{R}.
  • Inversa de afim é afim.
  • Interseção com a inversa = pontos fixos; resolva f(x)=x.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{2}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}x
Domínio de f: \mathbb{R}. Imagem de f: \mathbb{R}. Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}. Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}.
f^{-1}(x) é função de primeiro grau: Sim.
Ponto de interseção: \left(\dfrac{7}{3},\dfrac{7}{3}\right)

Exercícios relacionados