Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar a inversa
. - Verificar:
i. o domínio e a imagem dee de ;
ii. setambém é uma função de primeiro grau;
iii. o ponto de interseção entre os gráficos dee .
Informações relevantes fornecidas:
- A função explicitamente é
definida para (presumivelmente) em todos os reais, salvo indicação contrária no enunciado. - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Como se encontra a função inversa (ideia passo a passo, explicada):
- Para achar a inversa de uma função dada por
, troca-se os papéis de e (ou seja, escreve-se ) e resolve-se essa equação para . O motivo: a inversa “desfaz” o efeito de , então trocar e expressa essa reversão. - Aplicando isso a
: comece escrevendo , depois troque e e resolva para .
Passo 3
Executando a troca e isolando
:
troca
:
Agora resolva para
. Primeiro isole o termo com
:
Divida por
:
Portanto a inversa é
Também é útil escrever em forma de coeficiente e intercepto:
Passo 4
Verificação da inversa por composição (mostrar que compor dá identidade):
- Calcule
. Primeiro substitua por na definição de :
Simplifique o parêntese:
- Agora calcule
. Substitua por na expressão de :
Simplificando:
Como ambas composições retornam
, a função encontrada é de fato a inversa correta.
Passo 5
Domínio e imagem — explicação didática:
- Definições rápidas e intuitivas:
- Domínio de uma função: conjunto de valores de
que podem ser inseridos na função. - Imagem (ou contradomínio efetivo) de uma função: conjunto de valores que a função efetivamente produz (valores de
).
- Domínio de uma função: conjunto de valores de
- Para uma função afim (reto não constante)
com , qual é o domínio e a imagem? O domínio natural é todos os reais (não há divisão por zero nem raiz de índice par restritiva), e a imagem também é porque, para qualquer valor desejado , existe um tal que . Isso mostra que é sobrejetora para . Se além disso , também é injetora (valores diferentes de geram valores diferentes de ). - Aplicando ao caso:
-
é da forma com , logo seu domínio é e sua imagem é . - Como
é bijetora, sua inversa existe para todo . A expressão também é afim com coeficiente , portanto o domínio de é e a imagem de é .
-
Passo 6
Verificação se
é função de primeiro grau:
- Uma função de primeiro grau (função afim) tem a forma
com . - Já escrevemos
que pode ser reorganizada como
Isto está exatamente na forma
com
. Portanto
É sim uma função de primeiro grau.
Passo 7
Ponto de interseção entre os gráficos de
e
— ideia e cálculo:
- Propriedade útil: o gráfico da inversa é a reflexão do gráfico da função original em torno da reta
. Os pontos de interseção desses dois gráficos pertencem à reta , pois um ponto sobre a reta é igual às suas coordenadas trocadas. - Dois caminhos para encontrar interseção:
- Resolver
(ponto onde a altura dos dois gráficos é a mesma para o mesmo ). - Resolver
(encontrar pontos fixos; qualquer ponto comum a e sua inversa satisfaz e , portanto tem ). Ambos levam ao mesmo resultado.
- Resolver
- Vou resolver
(mais direto):
Some
aos dois lados:
Portanto
O valor de
é
. Assim o ponto de interseção é
Passo 8
Resumo conceitual rápido (para a prova):
- Para achar inversa de afim, trocar
e e isolar . - Uma função afim com coeficiente não nulo é bijetora em
, então domínio e imagem são . - Inversa de afim é afim.
- Interseção com a inversa = pontos fixos; resolva
.
Resposta
Domínio de
Ponto de interseção: