Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
e pede três coisas:
- Encontrar a inversa
. - Verificar:
i. O domínio e a imagem dee de .
ii. Setambém é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos dee .
Informações importantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
é . - Não há restrição adicional de domínio no enunciado, portanto assume-se o domínio natural da expressão (valores de
para os quais a expressão está definida).
Passo 2
O que é uma função inversa (em termos práticos para calcular): se
, a inversa
é a regra que troca entradas e saídas — isto é, resolve-se a equação
para
em função de
, e depois renomeia-se
como a variável independente
.
Aplicando isso passo a passo para
:
-
Escreve-se
. -
Troca-se
por e por (ou, equivalentemente, troca-se os nomes das variáveis). Fica:
- Agora resolvesse essa equação para
. Multiplica ambos os lados por :
- Isola
:
- Renomeando
para ser a função inversa em termos da variável , obtemos:
Passo 3
Vou explicar por que a inversa encontrada faz sentido e por que a função original é bijetora (ou seja, tem inversa bem definida).
A função dada pode ser escrita como forma de primeiro grau:
- Uma função afim (ou de primeiro grau) tem forma geral
com . - Aqui
, logo é injetora (valores diferentes de dão valores diferentes de ) e também sobrejetora quando consideramos imagem (ver próximo passo). Portanto possui inversa.
A inversa que encontramos é
que também está na forma afim com coeficiente angular
. Portanto parece consistente.
Passo 4
Verificação usando composições (check formal que realmente é inversa):
Calcular
. Substitui
em
por
:
Bom — compor
com
dá a identidade.
Calcular
. Substitui
em
por
:
Também dá a identidade. Isso confirma que a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 5
Domínio e imagem (explicação didática):
- Para uma expressão afim
com , não há problemas de divisão por zero nem raízes ímpares etc.; portanto o domínio natural é todo o conjunto dos números reais . Ao variar por todos os reais, atinge todos os reais também (pois é uma reta não horizontal), logo a imagem é .
Aplicando isso aqui:
-
Para
: - Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
-
Para
: - Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
Observação importante (conexão entre domínio e imagem): em geral para funções inversas valem as trocas
Aqui ambas são
.
Passo 6
Verificar se
também é função de primeiro grau:
- Forma geral de função de primeiro grau:
com . - Nossa
está exatamente nessa forma com e .
Logo, sim:
Passo 7
Ponto(s) de interseção entre os gráficos de
e de
:
Dica conceitual rápida: os gráficos de
e
são simétricos em relação à reta
. Os pontos de interseção são exatamente os pontos que permanecem iguais quando invertidos, ou seja, soluções de
Outra forma (mais simples) é notar que pontos de interseção com a reta
satisfazem
; sempre que
a mesma coordenada
também satisfaz
, então é ponto comum.
Vou resolver
(aplica-se também a
, dará o mesmo resultado):
Multiplica ambos os lados por
:
Isola
:
Como no ponto de interseção
, a ordenada é igual à abscissa, então o ponto é
Também é possível resolver diretamente
; isso também leva a
. Fiz a conta direta para confirmar:
Portanto há um único ponto de interseção, que é
.
Passo 8
Recapitulando tudo de forma clara (resumo dos resultados deduzidos e verificados nos passos anteriores):
- Inversa encontrada:
. - Domínios e imagens: todas as quatro (domínio e imagem de
e de ) são . -
é função de primeiro grau (sim). - Ponto de interseção dos gráficos:
.
Resposta
Domínio de
Imagem de
Domínio de
Imagem de
Ponto de interseção: