Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=\frac{x+7}{5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\dfrac{x+7}{5}
e pede três coisas:
  • Encontrar a inversa f^{-1}(x).
  • Verificar:
    i. O domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x).
    ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
    iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de f é \displaystyle f(x)=\frac{x+7}{5}.
  • Não há restrição adicional de domínio no enunciado, portanto assume-se o domínio natural da expressão (valores de x para os quais a expressão está definida).

Passo 2

O que é uma função inversa (em termos práticos para calcular): se y=f(x), a inversa f^{-1} é a regra que troca entradas e saídas — isto é, resolve-se a equação y=f(x) para x em função de y, e depois renomeia-se y como a variável independente x.
Aplicando isso passo a passo para \displaystyle f(x)=\frac{x+7}{5}:
  1. Escreve-se y=\dfrac{x+7}{5}.
  2. Troca-se x por y e y por x (ou, equivalentemente, troca-se os nomes das variáveis). Fica:
x=\frac{y+7}{5}.
  1. Agora resolvesse essa equação para y. Multiplica ambos os lados por 5:
5x = y+7.
  1. Isola y:
y = 5x-7.
  1. Renomeando y para ser a função inversa em termos da variável x, obtemos:
\boxed{f^{-1}(x)=5x-7.}

Passo 3

Vou explicar por que a inversa encontrada faz sentido e por que a função original é bijetora (ou seja, tem inversa bem definida).
A função dada pode ser escrita como forma de primeiro grau:
f(x)=\frac{x+7}{5}=\frac{1}{5}x+\frac{7}{5}.
  • Uma função afim (ou de primeiro grau) tem forma geral \;ax+b\; com a\neq 0.
  • Aqui a=\dfrac{1}{5}\neq 0, logo f é injetora (valores diferentes de x dão valores diferentes de f(x)) e também sobrejetora quando consideramos imagem \mathbb{R} (ver próximo passo). Portanto possui inversa.
A inversa que encontramos é
f^{-1}(x)=5x-7,
que também está na forma afim com coeficiente angular 5\neq 0. Portanto parece consistente.

Passo 4

Verificação usando composições (check formal que realmente é inversa):
Calcular f(f^{-1}(x)). Substitui x em f por f^{-1}(x)=5x-7:
f(f^{-1}(x))=\frac{(5x-7)+7}{5}=\frac{5x}{5}=x.
Bom — compor f com f^{-1} dá a identidade.
Calcular f^{-1}(f(x)). Substitui x em f^{-1} por f(x)=\dfrac{x+7}{5}:
f^{-1}\big(f(x)\big)=5\left(\frac{x+7}{5}\right)-7=(x+7)-7=x.
Também dá a identidade. Isso confirma que a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 5

Domínio e imagem (explicação didática):
  • Para uma expressão afim \;ax+b\; com a\neq 0, não há problemas de divisão por zero nem raízes ímpares etc.; portanto o domínio natural é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Ao variar x por todos os reais, ax+b atinge todos os reais também (pois é uma reta não horizontal), logo a imagem é \mathbb{R}.
Aplicando isso aqui:
  • Para f(x)=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{7}{5}:
    • Domínio de f: \displaystyle \mathbb{R}.
    • Imagem de f: \displaystyle \mathbb{R}.
  • Para f^{-1}(x)=5x-7:
    • Domínio de f^{-1}: \displaystyle \mathbb{R}.
    • Imagem de f^{-1}: \displaystyle \mathbb{R}.
Observação importante (conexão entre domínio e imagem): em geral para funções inversas valem as trocas
\text{Domínio}(f^{-1})=\text{Imagem}(f), \qquad \text{Imagem}(f^{-1})=\text{Domínio}(f).íí
Aqui ambas são \mathbb{R}.

Passo 6

Verificar se f^{-1} também é função de primeiro grau:
  • Forma geral de função de primeiro grau: \;g(x)=ax+b com a\neq 0.
  • Nossa f^{-1}(x)=5x-7 está exatamente nessa forma com a=5\neq 0 e b=-7.
Logo, sim: \boxed{f^{-1}(x)\\ \text{é uma função de primeiro grau.}}éçã

Passo 7

Ponto(s) de interseção entre os gráficos de f e de f^{-1}:
Dica conceitual rápida: os gráficos de f e f^{-1} são simétricos em relação à reta y=x. Os pontos de interseção são exatamente os pontos que permanecem iguais quando invertidos, ou seja, soluções de
f(x)=f^{-1}(x).
Outra forma (mais simples) é notar que pontos de interseção com a reta y=x satisfazem f(x)=x; sempre que f(x)=x a mesma coordenada x também satisfaz f^{-1}(x)=x, então é ponto comum.
Vou resolver f(x)=x (aplica-se também a f(x)=f^{-1}(x), dará o mesmo resultado):
\frac{x+7}{5}=x.
Multiplica ambos os lados por 5:
x+7=5x.
Isola x:
7=4x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{7}{4}.
Como no ponto de interseção y=x, a ordenada é igual à abscissa, então o ponto é
\left(\frac{7}{4},\frac{7}{4}\right).
Também é possível resolver diretamente \dfrac{x+7}{5}=5x-7; isso também leva a x=\dfrac{7}{4}. Fiz a conta direta para confirmar:
\frac{x+7}{5}=5x-7 \Longrightarrow x+7=25x-35 \Longrightarrow 42=24x \Longrightarrow x=\frac{42}{24}=\frac{7}{4}.
Portanto há um único ponto de interseção, que é \displaystyle\left(\frac{7}{4},\frac{7}{4}\right).

Passo 8

Recapitulando tudo de forma clara (resumo dos resultados deduzidos e verificados nos passos anteriores):
  • Inversa encontrada: f^{-1}(x)=5x-7.
  • Domínios e imagens: todas as quatro (domínio e imagem de f e de f^{-1}) são \mathbb{R}.
  • f^{-1} é função de primeiro grau (sim).
  • Ponto de interseção dos gráficos: \displaystyle\left(\frac{7}{4},\frac{7}{4}\right).

Resposta

f^{-1}(x)=5x-7
Domínio de f: \mathbb{R}
Imagem de f: \mathbb{R}
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}
Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}
f^{-1} é função de primeiro grau: Sim
Ponto de interseção: \left(\dfrac{7}{4},\dfrac{7}{4}\right)

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