Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=-\frac{3}{2} x+4

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dada a função f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4.
  • Perguntas:
    1. Determine a inversa f^{-1}(x).
    2. Verifique:
      i. Domínio e imagem de f(x) e de f^{-1}(x).
      ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
      iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma reta afim com coeficiente angular -\dfrac{3}{2} e coeficiente linear 4.
  • Não há restrições explícitas ao domínio no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que é a função inversa e o método padrão para encontrar f^{-1}.
  • Definição útil (em linguagem prática): uma função g é inversa de f se, para todo x no domínio de f, g(f(x)) = x e, para todo x no domínio de g, f(g(x)) = x.
  • Procedimento padrão para achar f^{-1} (método que costuma cair na prova):
    1. Escreve-se y = f(x).
    2. Troca-se x por y e y por x (isto é, troca-se os papéis de entrada/saída).
    3. Resolve-se a equação resultante para y; essa y é f^{-1}(x).
  • Observação importante para funções lineares do tipo y = ax + b com a \neq 0: a inversa existe e também é uma função linear (de primeiro grau). O domínio e a imagem típicos dessas retas (com a\neq0) são todos os reais.

Passo 3

Aplicando o método para calcular f^{-1}.
  • Começo: y = -\dfrac{3}{2}x + 4.
  • Troco x por y e y por x: x = -\dfrac{3}{2}y + 4.
  • Agora isolo y. Subtraio 4 de ambos os lados: x - 4 = -\dfrac{3}{2}y.
  • Multiplico ambos os lados por -\dfrac{2}{3} (inverso de -\tfrac{3}{2}) para obter y: y = -\dfrac{2}{3}(x - 4).
  • Faço a distribuição para escrever na forma explícita: y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}.
  • Conclusão: a inversa é f^{-1}(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}.

Passo 4

Domínio e imagem de f e de f^{-1} — explicação didática.
  • Para uma função afim y = ax + b com a\neq0:
    • Não há divisão por zero nem raiz par de expressão variável, logo qualquer x\in\mathbb{R} é permitido. Portanto o domínio é \mathbb{R}.
    • À medida que x percorre todos os reais, ax+b também percorre todos os reais (porque a reta não é horizontal), então a imagem é \mathbb{R}.
  • Aplicando isso:
    • Para f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} e \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
    • Para f^{-1}(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}: também tem coeficiente angular -\dfrac{2}{3}\neq0, então \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R} e \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}.
  • Observação extra (útil na prova): em geral \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f) e \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathrm{Dom}(f). Aqui ambos são \mathbb{R}.

Passo 5

Verificação se f^{-1} é função de primeiro grau.
  • A forma f^{-1}(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} é exatamente uma expressão do tipo ax+b com a=-\dfrac{2}{3} e b=\dfrac{8}{3}.
  • Portanto f^{-1} é sim uma função de primeiro grau (reta não horizontal).

Passo 6

Ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}: ideia e cálculo.
  • Observação teórica muito útil para prova: os gráficos de f e f^{-1} são simétricos em relação à reta y=x. Os pontos de interseção entre os dois gráficos pertencem, portanto, à reta y=x. Em termos práticos, qualquer interseção comum satisfaz f(x)=x.
  • Assim, para achar a(s) interseção(ões) basta resolver: f(x)=x \quad\Longrightarrow\quad -\dfrac{3}{2}x + 4 = x.
  • Resolvendo: -\dfrac{3}{2}x + 4 = xpasso a passo: somo \dfrac{3}{2}x aos dois lados: 4 = x + \dfrac{3}{2}x = \dfrac{5}{2}x.Agora isolo x multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{5}: x = 4\cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{5}.
  • O y correspondente é y=f(x). Calculo: y = f\!\left(\dfrac{8}{5}\right) = -\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{8}{5} + 4 = -\dfrac{24}{10} + 4 = -\dfrac{12}{5} + \dfrac{20}{5} = \dfrac{8}{5}.
  • Conclusão: os gráficos se intersectam no ponto \left(\dfrac{8}{5},\dfrac{8}{5}\right). (Isso bate com a ideia de que interseções ficam sobre y=x.)

Passo 7

Verificação final por compostos (checagem de que a inversa está correta).
  • Calculo f(f^{-1}(x)). Primeiro escrevo as funções: f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4,\qquad f^{-1}(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}.
  • Agora: f\big(f^{-1}(x)\big) = -\dfrac{3}{2}\!\left(-\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}\right) + 4.Faço a multiplicação interna: -\dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}x\right) = x, \qquad -\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right) = -4.Então f\big(f^{-1}(x)\big) = x - 4 + 4 = x.
  • De forma análoga f^{-1}\big(f(x)\big)=x. Logo a função encontrada é de fato a inversa.

Resposta

f^{-1}(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R};\\ \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}
Sim, f^{-1}(x) é uma função de primeiro grau.
Interseção: \left(\dfrac{8}{5},\dfrac{8}{5}\right)

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