Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dada a função
. - Perguntas:
- Determine a inversa
. - Verifique:
i. Domínio e imagem dee de .
ii. Setambém é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos dee .
- Determine a inversa
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma reta afim com coeficiente angular
e coeficiente linear . - Não há restrições explícitas ao domínio no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que é a função inversa e o método padrão para encontrar
.
- Definição útil (em linguagem prática): uma função
é inversa de se, para todo no domínio de , e, para todo no domínio de , . - Procedimento padrão para achar
(método que costuma cair na prova): - Escreve-se
. - Troca-se
por e por (isto é, troca-se os papéis de entrada/saída). - Resolve-se a equação resultante para
; essa é .
- Escreve-se
- Observação importante para funções lineares do tipo
com : a inversa existe e também é uma função linear (de primeiro grau). O domínio e a imagem típicos dessas retas (com ) são todos os reais.
Passo 3
Aplicando o método para calcular
.
- Começo:
. - Troco
por e por : - Agora isolo
. Subtraio de ambos os lados: - Multiplico ambos os lados por
(inverso de ) para obter : - Faço a distribuição para escrever na forma explícita:
- Conclusão: a inversa é
Passo 4
Domínio e imagem de
e de
— explicação didática.
- Para uma função afim
com : - Não há divisão por zero nem raiz par de expressão variável, logo qualquer
é permitido. Portanto o domínio é . - À medida que
percorre todos os reais, também percorre todos os reais (porque a reta não é horizontal), então a imagem é .
- Não há divisão por zero nem raiz par de expressão variável, logo qualquer
- Aplicando isso:
- Para
: e . - Para
: também tem coeficiente angular , então e .
- Para
- Observação extra (útil na prova): em geral
e . Aqui ambos são .
Passo 5
Verificação se
é função de primeiro grau.
- A forma
é exatamente uma expressão do tipo com e . - Portanto
é sim uma função de primeiro grau (reta não horizontal).
Passo 6
Ponto de interseção entre os gráficos de
e
: ideia e cálculo.
- Observação teórica muito útil para prova: os gráficos de
e são simétricos em relação à reta . Os pontos de interseção entre os dois gráficos pertencem, portanto, à reta . Em termos práticos, qualquer interseção comum satisfaz . - Assim, para achar a(s) interseção(ões) basta resolver:
- Resolvendo:
passo a passo: somo aos dois lados: Agora isolo multiplicando ambos os lados por : - O
correspondente é . Calculo: - Conclusão: os gráficos se intersectam no ponto
. (Isso bate com a ideia de que interseções ficam sobre .)
Passo 7
Verificação final por compostos (checagem de que a inversa está correta).
- Calculo
. Primeiro escrevo as funções: - Agora:
Faço a multiplicação interna: Então - De forma análoga
. Logo a função encontrada é de fato a inversa.
Resposta
Sim,
Interseção: