Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (d) g(t)=t e^{t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
g(t)=t\,e^{t^{2}}
determinar (1) sua derivada g'(t), (2) as raízes de g'(t) e (3) o domínio de g'(t). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em g(t)=t\cdot e^{t^{2}}, temos
g'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,e^{t^{2}}+t\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}\bigr).
Sabendo que \frac{d}{dt}(t)=1 e \frac{d}{dt}(e^{t^{2}})=e^{t^{2}}\cdot 2t pela regra da cadeia, segue
g'(t)=1\cdot e^{t^{2}}+t\cdot\bigl(2t\,e^{t^{2}}\bigr) =e^{t^{2}}+2t^{2}\,e^{t^{2}} =e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr).

Passo 3

Para achar as raízes de g'(t), resolvemos
g'(t)=e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr)=0.
Como e^{t^{2}}>0 para todo t\in\mathbb{R}, a única possibilidade seria
1+2t^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad t^{2}=-\tfrac12,
o que não tem solução real. Logo, não há raízes reais de g'(t).

Passo 4

A função g'(t)=e^{t^{2}}(1+2t^{2}) está definida para todo t\in\mathbb{R}, pois tanto o polinômio 1+2t^{2} quanto a exponencial e^{t^{2}} são definidos em (-\infty,\infty).

Resposta

g'(t)=e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr)
Não existem raízes reais de g'(t)=0.
Domínio de g'(t)\colon (-\infty,\infty).

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