Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{z^{2}+(1-i) z-i}{z^{2}+1}, z_{0}=i

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z^{2}+(1 - i)z - i}{\,z^{2}+1\,}
e pede a classificação da singularidade em z_{0}=i (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o seu resíduo. O conteúdo aqui é classificação de singularidades de funções meromorfas e cálculo de resíduo.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
z^{2}+1 = (z - i)(z + i).
Logo, antes de cancelar, f teria um polo simples em z=i.

Passo 3

Verificamos se o numerador também se anula em z=i. Calculamos
N(i)=i^{2}+(1 - i)\,i - i = -1 +\bigl(i - i^{2}\bigr)-i = -1 + (i+1)-i = 0.
Como o numerador tem fator (z - i), esse fator se cancela com o do denominador, eliminando o polo. Portanto, em z=i temos uma singularidade removível, não um polo nem uma singularidade essencial.

Passo 4

O resíduo em z=i pode ser obtido por
\Res(f,i)=\lim_{z\to i}(z - i)\,f(z).
Mas como o fator (z - i) cancela, o limite é zero.

Resposta

A singularidade em z=i é removível, e
\Res(f,i)=0.

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