Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{z^{2}}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{z^{2}}
e pede (a) classificar a singularidade isolada em z_{0}=0 e (b) calcular o resíduo de f em z=0. O conteúdo abordado é classificação de singularidades isoladas via expansão de Laurent e cálculo de resíduo como coeficiente de 1/z.

Passo 2

Para determinar a expansão de Laurent de f em torno de 0, começamos pela série de Taylor de \operatorname{sen} z em z=0:
\operatorname{sen} z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \cdots.

Passo 3

Dividindo termo a termo por z^{2}, obtemos
\frac{\operatorname{sen} z}{z^{2}} = \frac{z}{z^{2}} - \frac{z^{3}}{6\,z^{2}} + \frac{z^{5}}{120\,z^{2}} - \cdots = \frac{1}{z} - \frac{z}{6} + \frac{z^{3}}{120} - \cdots.

Passo 4

Na expansão de Laurent só aparece um termo com potência negativa, que é \tfrac{1}{z}, sem termos mais singulares como 1/z^{2}. Logo a singularidade em z=0 é um polo simples (polo de ordem 1).

Passo 5

O resíduo de f em z=0 é o coeficiente do termo \tfrac{1}{z} na expansão de Laurent, ou seja,
\Res(f,0)=1.

Resposta

A singularidade em z=0 é um polo de ordem 1 (polo simples) e
\Res\bigl(f,0\bigr)=1.

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