Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{e^{z}}{z^{2}(z+1)}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá
f(z)=\frac{e^{z}}{z^{2}(z+1)}
e pede o tipo de singularidade em z_{0}=0 (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o resíduo \Res(f,0).
Conteúdo necessário: classificação de singularidades via desenvolvimento de Laurent e fórmula de resíduo para polo de ordem m.

Passo 2

Note que e^{z} é inteira e z+1 é não nulo em z=0. Logo podemos escrever
f(z)=\frac{g(z)}{z^{2}},
onde
g(z)=\frac{e^{z}}{z+1}
é analítica em z=0 e g(0)=1\neq0. Portanto f tem um polo de ordem 2 em z=0.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z=0, a fórmula do resíduo é
\Res(f,0) =\frac{1}{1!}\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\Bigl(z^{2}f(z)\Bigr) =\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\biggl(\frac{e^{z}}{z+1}\biggr).

Passo 4

Calculemos
h(z)=\frac{e^{z}}{z+1}, \quad h'(z) =\frac{(e^{z})(z+1)-e^{z}\cdot1}{(z+1)^{2}} =\frac{z\,e^{z}}{(z+1)^{2}}.
Logo
\Res(f,0)=h'(0) =\frac{0\cdot e^{0}}{1^{2}} =0.

Resposta

A singularidade em z_{0}=0 é um polo de ordem 2 e
\Res\bigl(f,0\bigr)=0.

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