Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{e^{z}}{z^{2}(z+1)}, z_{0}=-1

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{e^{z}}{z^{2}(z+1)}
determinar, em z_{0}=-1:
  1. o tipo de singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial),
  2. o resíduo \mathrm{Res}(f,-1).
    O conteúdo utilizado será classificação de singularidades isoladas e cálculo de resíduos por meio do limite para polos simples.

Passo 2

Analisando o denominador z^{2}(z+1), vemos que em z=-1 apenas o fator (z+1) se anula, e com multiplicidade 1, enquanto z^{2} em z=-1 vale (-1)^{2}=1\neq0. Logo, z=-1 é um polo de ordem 1 (polo simples).

Passo 3

Para um polo simples em z=-1, o resíduo é dado por
\mathrm{Res}(f,-1) =\lim_{z\to-1}(z+1)\,\frac{e^{z}}{z^{2}(z+1)} =\lim_{z\to-1}\frac{e^{z}}{z^{2}} =\frac{e^{-1}}{(-1)^{2}} =e^{-1}.

Resposta

Polo de ordem 1 em z_{0}=-1 e
\mathrm{Res}(f,-1)=e^{-1}.

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