Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{1}{e^{z}-1}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(z)=\frac{1}{e^{z}-1}
no ponto z_{0}=0. Vamos identificar se z=0 é um polo (e de que ordem) ou uma singularidade essencial, e em seguida calcular o resíduo de f em 0. Para isso, usaremos a teoria de zeros de funções analíticas e a definição de resíduo em pólos simples.

Passo 2

Estudamos o comportamento de e^{z}-1 em z=0. Pela expansão de Taylor de e^{z} em torno de 0,
e^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{2}+\cdots,
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e^{z}-1 = z + \frac{z^{2}}{2} + \cdots.
Percebemos que e^{z}-1 tem um zero de ordem 1 em z=0.

Passo 3

Como o denominador tem um zero simples em 0 e o numerador é identicamente 1, concluímos que f(z) apresenta um polo simples (ou seja, de ordem m=1) em z=0.

Passo 4

Para um polo simples em z_{0}, o resíduo de f=g/h é dado por
\Res(f,0)=\frac{g(0)}{h'(0)},
onde g(z)=1 e h(z)=e^{z}-1. Calculamos
h'(z)=\frac{d}{dz}(e^{z}-1)=e^{z},
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h'(0)=e^{0}=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
\Res\bigl(f,0\bigr)=\frac{g(0)}{h'(0)}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

A função f(z)=1/(e^{z}-1) tem em z=0 um polo simples (ordem 1) e
\Res\bigl(f,0\bigr)=1.

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