Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
no ponto
. Vamos identificar se
é um polo (e de que ordem) ou uma singularidade essencial, e em seguida calcular o resíduo de
em
. Para isso, usaremos a teoria de zeros de funções analíticas e a definição de resíduo em pólos simples.
Passo 2
Estudamos o comportamento de
em
. Pela expansão de Taylor de
em torno de
,
logo
Percebemos que
tem um zero de ordem
em
.
Passo 3
Como o denominador tem um zero simples em
e o numerador é identicamente
, concluímos que
apresenta um polo simples (ou seja, de ordem
) em
.
Passo 4
Para um polo simples em
, o resíduo de
é dado por
onde
e
. Calculamos
logo
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Resposta
A função
tem em
um polo simples (ordem
) e