Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\operatorname{cosh} \left(\frac{1}{z}\right), z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para a função
\displaystyle f(z)=\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac1z\bigr)
em z_{0}=0 classificar a singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcular o resíduo em z=0. Vamos usar a definição de singularidade isolada e a expansão em série de Laurent para \operatorname{cosh}.

Passo 2

Escrevendo
\displaystyle \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac1z\bigr)=\frac{e^{1/z}+e^{-1/z}}{2},
cada termo e^{\pm1/z} tem expansão de Laurent com infinitos termos de potências negativas de z. Logo o ponto z=0 gera parte principal com infinitos termos negativos, caracterizando uma singularidade essencial em z=0.

Passo 3

Para calcular o resíduo, obtemos a expansão em série de Laurent usando
\displaystyle \operatorname{cosh} w=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{2k}}{(2k)!}
com w=1/z. Assim
\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac1z\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\,\frac{1}{z^{2k}} =1+\frac{1}{2!}\,\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{4!}\,\frac{1}{z^{4}}+\cdots

Passo 4

O resíduo em z=0 é o coeficiente de 1/z nessa expansão. Como aparecem apenas potências z^{-2k} (com k inteiro), não há termo em z^{-1}. Portanto
\mathrm{Res}\bigl(f,0\bigr)=0.

Resposta

Singularidade essencial em z=0; resíduo igual a 0.

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