Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado pede para a função
em classificar a singularidade (polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcular o resíduo em
. Vamos usar a definição de singularidade isolada e a expansão em série de Laurent para
.
em
Passo 2
Escrevendo
,
cada termo tem expansão de Laurent com infinitos termos de potências negativas de
. Logo o ponto
gera parte principal com infinitos termos negativos, caracterizando uma singularidade essencial em
.
cada termo
Passo 3
Para calcular o resíduo, obtemos a expansão em série de Laurent usando
com . Assim
com
Passo 4
O resíduo em
é o coeficiente de
nessa expansão. Como aparecem apenas potências
(com
inteiro), não há termo em
. Portanto
Resposta
Singularidade essencial em
; resíduo igual a
.