Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{\operatorname{cosec}\left(z^{2}\right)}{z^{3}}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a singularidade de
f(z)=\frac{\csc\bigl(z^{2}\bigr)}{z^{3}}
em z_{0}=0 (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcular \Res(f,0). Vamos usar a expansão de Laurent de \csc w em torno de w=0.

Passo 2

Sabemos que a expansão de Laurent de \csc w em torno de w=0 é
\csc w = \frac{1}{w} + \frac{w}{6} + \frac{7\,w^{3}}{360} + \cdots.

Passo 3

Na nossa função, fazemos w=z^{2}. Assim,
\csc\bigl(z^{2}\bigr) = \frac{1}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{6} + \frac{7\,z^{6}}{360} + \cdots.

Passo 4

Agora dividimos por z^{3}:
f(z)=\frac{\csc(z^{2})}{z^{3}} = \frac{1}{z^{5}} + \frac{1}{6\,z} + \frac{7\,z^{3}}{360} + \cdots.

Passo 5

Na expansão de Laurent vemos apenas um número finito de termos negativos ( z^{-5} até z^{-1}), logo é um polo em z=0. O maior expoente negativo é -5, ou seja, é um polo de ordem 5. O resíduo é o coeficiente de 1/z, que é \tfrac{1}{6}.

Resposta

Polo de ordem 5.
\Res(f,0)=\dfrac{1}{6}.

Exercícios relacionados