Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=z \cos \left(\frac{1}{z}\right), z_{0}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=z\cos\!\bigl(\tfrac{1}{z}\bigr), \quad z_{0}=0,
e pede (i) o tipo de singularidade em z=0 (polo de ordem finita ou singularidade essencial) e (ii) o resíduo de f em z=0. Vamos usar expansão em série de Laurent de \cos(1/z) em torno de z=0 e a definição de resíduo como coeficiente de 1/z.

Passo 2

Começamos pela expansão de Taylor de \cos w em torno de w=0:
\cos w=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{w^{2n}}{(2n)!}.
Substituindo w=1/z obtemos
\cos\!\bigl(\tfrac{1}{z}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}\frac{1}{z^{2n}},
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f(z)=z\cos\!\bigl(\tfrac{1}{z}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}\,z^{1-2n}.

Passo 3

No desenvolvimento acima, para n\ge1 aparecem termos com potências z^{1-2n} que vão a ordens negativas arbitrariamente altas. Isso significa que a parte principal da série de Laurent tem infinitos termos: singularidade essencial em z=0.

Passo 4

O resíduo \mathrm{Res}(f,0) é o coeficiente do termo z^{-1} na série de Laurent. Procuramos n tal que
1-2n=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2n=2 \quad\Longrightarrow\quad n=1.
Para n=1 o coeficiente é
(-1)^1\frac{1}{(2\cdot1)!} =-\frac{1}{2}.

Resposta

Singularidade essencial em z=0 e
\mathrm{Res}(f,0)=-\frac12.

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