Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=x \cdot \arctan (x)-1 / 2 \ln \left(1+x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\cdot\arctan(x)-\tfrac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
O conteúdo que vamos usar inclui: regra do produto para x\cdot\arctan(x), derivada de \arctan(x), derivada de \ln e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo usando a regra do produto. Seja
u(x)=x,\quad v(x)=\arctan(x).
Então
u'(x)=1,\quad v'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
e pela regra do produto
\frac{d}{dx}\bigl[x\arctan(x)\bigr] = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) = \arctan(x)+\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo \tfrac12\ln(1+x^{2}). Pela regra da cadeia e derivada de logaritmo,
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln(1+x^{2})\Bigr] =\frac{1}{1+x^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{1+x^{2}},
multiplicando por \tfrac12 vem
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac12\ln(1+x^{2})\Bigr] =\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Juntando as duas derivadas e lembrando do sinal menos, obtemos
f'(x) =\Bigl(\arctan(x)+\frac{x}{1+x^{2}}\Bigr) -\frac{x}{1+x^{2}} =\arctan(x).

Resposta

f'(x)=\arctan(x).

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