Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\operatorname{arcsen}(x / 2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é regra da cadeia combinando a derivada de \operatorname{arcsen}(u) com a derivada de u(x)=x/2.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\tfrac{x}{2}.
Sua derivada é
u'(x)=\tfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\tfrac12.

Passo 3

A fórmula da derivada de \operatorname{arcsen}(u) é
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arcsen}(u)\bigr] =\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^{2}}} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^{2}}} =\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{4}}}.

Passo 4

Podemos simplificar o denominador:
\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{4}} =\sqrt{\tfrac{4-x^{2}}{4}} =\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}.
Então
f'(x) =\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}} =\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{4}}} =\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}.

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