Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\cos (2 x) \cdot \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos(2x)\,\sin(x).
Aqui vamos usar duas ferramentas: a regra do produto (para derivar um produto de funções) e a regra da cadeia (para derivar \cos(2x)).

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
No nosso caso u(x)=\cos(2x) e v(x)=\sin(x), logo
f'(x)=\bigl[\cos(2x)\bigr]'\,\sin(x)+\cos(2x)\,\bigl[\sin(x)\bigr]'.

Passo 3

Agora derivamos cada termo:
  • Para \cos(2x) aplicamos regra da cadeia:
\bigl[\cos(2x)\bigr]'=-\sin(2x)\cdot(2)=-2\sin(2x).
  • Para \sin(x) temos a derivada simples
\bigl[\sin(x)\bigr]'=\cos(x).
Substituindo em f'(x), obtém-se
f'(x)=-2\sin(2x)\,\sin(x)+\cos(2x)\,\cos(x).

Passo 4

Podemos dar uma forma mais enxuta usando identidades trigonométricas:
\cos(2x)\cos(x)=\tfrac12\bigl[\cos(3x)+\cos(x)\bigr], \quad \sin(2x)\sin(x)=\tfrac12\bigl[\cos(x)-\cos(3x)\bigr].
Então
f'(x)=\tfrac12\bigl[\cos(3x)+\cos(x)\bigr] -2\cdot\tfrac12\bigl[\cos(x)-\cos(3x)\bigr] =\tfrac{3\cos(3x)-\cos(x)}{2}.

Resposta

f'(x)=-2\sin(2x)\,\sin(x)+\cos(2x)\,\cos(x) \quad\longrightarrow\quad \frac{3\cos(3x)-\cos(x)}{2}.

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