Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \ln\bigl(1 + x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a derivada de uma função composta, aplicando a regra da cadeia junto com a derivada de \ln(u).

Passo 2

Seja
u(x) = 1 + x^{2}.
Como sabemos, a derivada de \ln(u) é
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(u)\bigr] = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Então,
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora, calculamos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1 + x^{2}\bigr) = 2x.
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}}.

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