Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=1 / 2 \ln \left(\frac{x+2}{x-2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\tfrac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{x+2}{x-2}\biggr).
Aqui vamos usar as regras de derivação da função logarítmica e a regra do quociente (via diferença de logaritmos).

Passo 2

Reescrevemos f como diferença de logaritmos:
f(x) =\tfrac{1}{2}\bigl[\ln(x+2)-\ln(x-2)\bigr].

Passo 3

Aplicando o derivado \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} em cada termo, obtemos
f'(x) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}\ln(x+2)-\frac{d}{dx}\ln(x-2)\Bigr) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}\Bigr).

Passo 4

Fazendo o denominador comum e simplificando:
f'(x) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{(x-2)-(x+2)}{(x+2)(x-2)} =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{-4}{x^2-4} =-\frac{2}{x^2-4}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2}{x^2-4}.

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