Para cada uma das funções abaixo, calcule lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) :
f(x)=4 x(x-3)^2, a=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos os limites laterais de quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O denominador é um quadrado, então sempre será positivo, exceto quando , onde ele se anula. Isso significa que, perto de , o denominador está ficando muito pequeno, fazendo com que a fração cresça bastante.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando limx to 3^+ 4x(x-3)^2 se aproxima de 3 vindo dos valores maiores que 3 ( ):
À medida que se aproxima de 3 pela direita, é um número positivo pequeno. Ao quadrar, ainda é positivo e muito pequeno, o que faz o denominador tender a zero. O numerador, , tende a . Então, a fração fica sendo algo próximo a ú, que tende a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 3^- 4x(x-3)^2 se aproxima de 3 vindo dos valores menores que 3 ( ):
Mesmo que se aproxime de 3 pela esquerda, será um número negativo pequeno. Mas, ao quadrar, continua positivo e muito pequeno. O numerador ainda tende a . Assim, novamente temos ú, o que também tende a .

Resposta

limx to 3^+ f(x) = +infty e limx to 3^- f(x) = +infty

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