Para cada uma das funções abaixo, determine:
a) Intervalos de crescimento e decrescimento ( utilize a primeira derivada);
a) f(x)=x^{3}-x+1
b) Pontos de máximo Local e mínimo Local( pontos onde f^{\prime}(x)=0 );
b) f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1
c) Intervalos nos quais o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima ( utilize a segunda derivada);
c) f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2
d) Intervalos nos quais o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo ( utilize a segunda derivada);
d) f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+5
e) Pontos de inflexão (veja os pontos onde o gráfico muda de concavidade);
e) f(x)=x^{4}-4 x^{3}
f) Limites no infinito e Assíntotas.
f) f(x)=x^{4}-6 x^{2}
g) Esboço do gráfico de f.
g) f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+3
h) f(x)=-x^{4}+4 x^{3}-4 x^{2}+2
i) f(x)=e^{-x^{2}}
j) f(x) x e^{-x}
k) f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-x}
l) f(x)=x^{4}-2 x^{2}
m) f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
n) f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
o) f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}
p) f(x)=\ln (x+1)
q) f(x)=\operatorname{arctg} x
r) f(x)=\operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos várias funções, cada uma com um tipo de estudo de curva (crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, inflexão, limites, assíntotas, esboço). O método geral em cada caso é:
  1. Calcular as derivadas necessárias ( f' para monotonia e extremos, f'' para concavidade e pontos de inflexão).
  2. Resolver f'(x)=0 ou f''(x)=0, quando for o caso.
  3. Fazer estudo de sinal das derivadas nos intervalos formados.
  4. Para limites e assíntotas, calcular \lim_{x\to\pm\infty}f(x) e, se necessário, \lim_{x\to a}f(x) em pontos de descontinuidade.
  5. Com todas essas informações, esboçar o gráfico.

Passo 2

(fazendo apenas o item a) como exemplo completo)
Função
f(x)=x^{3}-x+1.
Conteúdo: crescimento e decrescimento (primeira derivada).

Passo 3

Calcular a primeira derivada:
f'(x)=3x^{2}-1.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Estudo de sinal de f'(x)=3x^{2}-1:
  • Para x<-\tfrac1{\sqrt3}, temos 3x^2>1 \,\Rightarrow f'(x)>0.
  • Para -\tfrac1{\sqrt3}<x<\tfrac1{\sqrt3}, temos 3x^2<1 \,\Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>\tfrac1{\sqrt3}, temos 3x^2>1 \,\Rightarrow f'(x)>0.

Passo 5

Conclusão sobre monotonia de f:
  • Crescente em \bigl(-\infty,-\tfrac1{\sqrt3}\bigr) e em \bigl(\tfrac1{\sqrt3},+\infty\bigr).
  • Decrescente em \bigl(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr).

Resposta

a) Para f(x)=x^{3}-x+1:
Crescente em \bigl(-\infty,-\tfrac1{\sqrt3}\bigr) e \bigl(\tfrac1{\sqrt3},+\infty\bigr);
Decrescente em \bigl(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr).

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