Verifique que
possui uma única raiz real no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem exatamente uma raiz real no intervalo
.
O conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz) e o estudo de monotonicidade via derivada (para unicidade).
O conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz) e o estudo de monotonicidade via derivada (para unicidade).
Passo 2
Calculamos o valor de
nas extremidades do intervalo:
Logo,
e
.
Passo 3
Como
é um polinômio (logo contínuo) e assume sinais opostos em
e em
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
tal que
Passo 4
Para verificar a unicidade, estudamos a derivada
Note que, para todo
, tem-se
, de modo que
Assim,
é sempre positiva e
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Como
é estritamente crescente, ela não pode ter mais de uma raiz real. Juntando com a existência de uma raiz em
, concluímos que há exatamente uma raiz real nesse intervalo.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real em
.