Verifique que P(x)=x^{5}+x+1 possui uma única raiz real no intervalo [-1,0].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
P(x)=x^{5}+x+1
tem exatamente uma raiz real no intervalo [-1,0].
O conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz) e o estudo de monotonicidade via derivada (para unicidade).

Passo 2

Calculamos o valor de P nas extremidades do intervalo:
P(-1)=(-1)^{5}+(-1)+1=-1-1+1=-1,
P(0)=0^{5}+0+1=1.
Logo, P(-1)=-1<0 e P(0)=1>0.

Passo 3

Como P é um polinômio (logo contínuo) e assume sinais opostos em -1 e em 0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz c\in(-1,0) tal que
P\text{(c)}=0.

Passo 4

Para verificar a unicidade, estudamos a derivada
P'(x)=5x^{4}+1.
Note que, para todo x\in\mathbb{R}, tem-se 5x^{4}\ge0, de modo que
P'(x)=5x^{4}+1\ge1>0.
Assim, P'(x) é sempre positiva e P é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Como P é estritamente crescente, ela não pode ter mais de uma raiz real. Juntando com a existência de uma raiz em (-1,0), concluímos que há exatamente uma raiz real nesse intervalo.

Resposta

A equação x^{5}+x+1=0 possui uma única raiz real em [-1,0].

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