Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=\left(\frac{x+x \sin x+\cos x}{1+2 \tan ^{2} x}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x) da função
f(x)=\left(\frac{x+x\sin x+\cos x}{1+2\tan^{2}x}\right)^{3}.
Informações dadas e o que é preciso encontrar:
  • A função está escrita como uma potência de índice 3 aplicada a uma razão entre duas funções trigonométricas e polinomiais.
  • Precisamos obter expressamente a derivada f'(x) em termos de x.
  • Não há valores numéricos a avaliar; queremos a fórmula geral de f'(x).

Passo 2

Vamos decompor a função para facilitar a derivação. Definimos a função interior (aquela que é elevada ao cubo) como
u(x)=\frac{N(x)}{D(x)}
onde
N(x)=x+x\sin x+\cos x
e
D(x)=1+2\tan^{2}x.
A função exterior é h(u)=u^{3}. Usaremos a regra da cadeia: se f(x)=h(u(x)) então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Derivada da função exterior h(u)=u^{3}. Aplicando a regra do poder (derivada de u^{n} é n u^{n-1} u'):
h'(u)=3u^{2}.
Portanto, pela regra da cadeia:
f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Agora só falta calcular u'(x), a derivada da razão N(x)/D(x).

Passo 4

Para derivar u(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} vamos usar a regra do quociente: se u=\dfrac{N}{D} então
u'=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Então precisamos de N'(x) e D'(x).

Passo 5

Calcular N'(x) com regra da soma e produto. Lembre que a derivada de \sin x é \cos x e de \cos x é -\sin x. Para x\sin x usamos a regra do produto:
\big(x\sin x\big)' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
Agora derivando termo a termo:
N'(x) = (x)' + (x\sin x)' + (\cos x)' = 1 + \big(\sin x + x\cos x\big) + (-\sin x).
Os \sin x positivos e negativos se cancelam, ficando
N'(x)=1 + x\cos x.

Passo 6

Calcular D'(x). Temos D(x)=1+2\tan^{2}x. A derivada de 1 é 0. Para 2\tan^{2}x usamos regra da cadeia: se v(x)=\tan^{2}x então v'(x)=2\tan x\cdot(\tan x)'. E (\tan x)'=\operatorname{sec}^{2}x. Assim
(\tan^{2}x)'=2\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Multiplicando pelo coeficiente 2 de D(x),
D'(x)=2\cdot 2\tan x\operatorname{sec}^{2}x = 4\tan x\operatorname{sec}^{2}x.
(Notação: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, e \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \tan x.)

Passo 7

Aplicando a regra do quociente com os resultados:
u'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Substituindo N',D',N,D:
u'(x)=\frac{\big(1+x\cos x\big)\big(1+2\tan^{2}x\big)-\big(x+x\sin x+\cos x\big)\big(4\tan x\operatorname{sec}^{2}x\big)}{\big(1+2\tan^{2}x\big)^{2}}.

Passo 8

Agora voltamos à regra da cadeia. Lembrando f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}u'(x) e u(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}, então substituindo u e u' obtemos
f'(x)=3\left(\frac{N(x)}{D(x)}\right)^{2}\cdot \frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Multiplicando as potências de D(x): \left(\dfrac{N}{D}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{D^{2}}=\dfrac{N^{2}}{D^{4}}. Portanto podemos escrever
f'(x)=\frac{3\,N(x)^{2}\,\big(N'(x)D(x)-N(x)D'(x)\big)}{D(x)^{4}}.

Passo 9

Substituindo finalmente N(x), N'(x), D(x) e D'(x) explícitos, obtemos a forma final:
f'(x)=\frac{3\big(x+x\sin x+\cos x\big)^{2}\Big[\big(1+x\cos x\big)\big(1+2\tan^{2}x\big)-4\big(x+x\sin x+\cos x\big)\tan x\operatorname{sec}^{2}x\Big]}{\big(1+2\tan^{2}x\big)^{4}}.
Esta expressão é equivalente a manter a forma factorizada das etapas anteriores; aqui está tudo em termos de x.

Resposta

f'(x)=\frac{3\big(x+x\sin x+\cos x\big)^{2}\Big[\big(1+x\cos x\big)\big(1+2\tan^{2}x\big)-4\big(x+x\sin x+\cos x\big)\tan x\operatorname{sec}^{2}x\Big]}{\big(1+2\tan^{2}x\big)^{4}}.

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