Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x \rightarrow 0.
f(x)=\frac{x \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}\left(2 x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}f(x) \quad\text{com}\quad f(x)=\frac{x\sin x}{\sin(2x^2)}.
O conteúdo principal é cálculo de limites usando o limite fundamental \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos f(x) fatorando para aplicar limites conhecidos:
f(x) = \frac{x\sin x}{\sin(2x^2)} = \frac{\sin x}{x}\;\cdot\;\frac{x^2}{\sin(2x^2)}.
Agora basta achar o limite de cada fator.

Passo 3

Pelo limite fundamental temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 4

No segundo fator, faça u=2x^2. Então u\to0 e
\frac{x^2}{\sin(2x^2)} = \frac{u}{\sin u}\;\cdot\;\frac{1}{2}.
Como \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 implica \lim_{u\to0}\frac{u}{\sin u}=1,
temos
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sin(2x^2)} = \frac12.

Passo 5

Como ambos limites existem e são finitos, o limite de f é o produto:
\lim_{x\to0}f(x) = 1\;\times\;\frac12 = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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