As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica - denotadas, respectivamente, por senh, cosh, tgh e cotgh, são definidas pelas expressões:
Com base nessas definições, mostre que:
Passo 1
O enunciado define a tangente hiperbólica por
e pede que mostremos
sabendo que
Para isso, vamos usar a regra do quociente e a derivada de
.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente em
com e
, temos
com
Calculemos
e
:
Substituindo,
Passo 3
No numerador temos diferença de quadrados:
Isso é
Logo
Passo 4
Como
, temos
Substituindo em
, obtém-se