As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica - denotadas, respectivamente, por senh, cosh, tgh e cotgh, são definidas pelas expressões:
\operatorname{senh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{tgh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{x}}, \quad \operatorname{cotgh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{x}}
Com base nessas definições, mostre que:
\frac{d}{d x}(\operatorname{tgh} x)=(\operatorname{cosh} x)^{-2}

Passo 1

O enunciado define a tangente hiperbólica por
\operatorname{tgh}x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}
e pede que mostremos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr) = (\operatorname{cosh} x)^{-2},
sabendo que
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.
Para isso, vamos usar a regra do quociente e a derivada de e^{x}.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em \displaystyle \operatorname{tgh}x = \frac{u(x)}{v(x)}
com u(x)=e^{x}-e^{-x} e v(x)=e^{x}+e^{-x}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Calculemos u' e v':
u'(x) = e^{x} - (-e^{-x}) = e^{x} + e^{-x}, \quad v'(x) = e^{x} - e^{-x}.
Substituindo,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr) = \frac{(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x}) \;-\;(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x})} {\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}.

Passo 3

No numerador temos diferença de quadrados:
(e^{x}+e^{-x})^{2} - (e^{x}-e^{-x})^{2} = \bigl[(e^{x}+e^{-x}) - (e^{x}-e^{-x})\bigr]\, \bigl[(e^{x}+e^{-x}) + (e^{x}-e^{-x})\bigr].
Isso é
(2e^{-x})\,(2e^{x}) = 4.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr) = \frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Como \operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, temos
e^{x}+e^{-x} = 2\,\operatorname{cosh} x \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2} = 4\,(\operatorname{cosh} x)^{2}.
Substituindo em \displaystyle \frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}, obtém-se
\frac{4}{4\,(\operatorname{cosh} x)^{2}} = (\operatorname{cosh} x)^{-2}.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr) = (\operatorname{cosh} x)^{-2}.

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