Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(h) f(x)=\cos x no ponto de abscissa p=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos f(x)=\cos x e queremos as equações da reta tangente
y = f(p) + f'(p)\,(x-p)
e, se f'(p)\neq0, da reta normal
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x-p)
no ponto de abscissa p=\tfrac{\pi}{2}. Vamos precisar calcular f(p) e f'(p).

Passo 2

Calcular f(p): aplicando f(x)=\cos x em x=\tfrac{\pi}{2},
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0

Passo 3

Calcular a derivada e seu valor em p:
f'(x)=-\sin x
Logo,
f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1

Passo 4

Equação da reta tangente:
y = f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,(x - \tfrac{\pi}{2})
Substituindo f(\tfrac{\pi}{2})=0 e f'(\tfrac{\pi}{2})=-1,
y = 0 + (-1)\,(x - \tfrac{\pi}{2}) = -x + \tfrac{\pi}{2}

Passo 5

Equação da reta normal (já que f'(\tfrac{\pi}{2})\neq0):
y = f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \frac{1}{f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)}\,(x - \tfrac{\pi}{2})
Substituindo,
y = 0 - \frac{1}{-1}\,(x - \tfrac{\pi}{2}) = x - \tfrac{\pi}{2}

Resposta

reta tangente: y = -x + \tfrac{\pi}{2}
reta normal: y = x - \tfrac{\pi}{2}

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