Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(m) f(x)=4 \operatorname{sen}^{3} 2 x \cdot \cos ^{4} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=4\sin^{3}(2x)\,\cos^{4}(2x)
Usaremos as regras do produto e da cadeia para potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin(2x), \quad v(x)=\cos(2x),
de modo que
f(x)=4\,u^{3}v^{4}.
Pela regra do produto e da cadeia,
f'(x)=4\bigl(3u^{2}\,u'\,v^{4}+u^{3}\cdot4v^{3}\,v'\bigr).

Passo 3

Calculamos u' e v' aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x),
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).

Passo 4

Substituindo em f'(x) e simplificando:
f'(x)=4\bigl(3\sin^{2}(2x)\cdot2\cos(2x)\cdot\cos^{4}(2x) +\sin^{3}(2x)\cdot4\cos^{3}(2x)\cdot(-2\sin(2x))\bigr)
f'(x)=4\bigl(6\sin^{2}(2x)\cos^{5}(2x)-8\sin^{4}(2x)\cos^{3}(2x)\bigr) =24\sin^{2}(2x)\cos^{5}(2x)-32\sin^{4}(2x)\cos^{3}(2x).

Passo 5

Fatorando o termo comum 8\sin^{2}(2x)\cos^{3}(2x), fica
f'(x)=8\sin^{2}(2x)\cos^{3}(2x)\bigl(3\cos^{2}(2x)-4\sin^{2}(2x)\bigr).

Resposta

f'(x)=8\sin^{2}(2x)\cos^{3}(2x)\bigl(3\cos^{2}(2x)-4\sin^{2}(2x)\bigr).

Exercícios relacionados