Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(i) f(x)=\operatorname{sen} x no ponto de abscissa p=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e, se existir, da reta normal ao gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x no ponto de abscissa p=\tfrac\pi2. Usaremos as fórmulas
\text{reta tangente: }y = f(p) + f'(p)\,(x - p),
\text{reta normal (se }f'(p)\neq0\text{): }y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x - p).

Passo 2

Calculamos f(p) e f'(p). Como f(x)=\operatorname{sen} x, temos
f\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1,
e
f'(x)=\cos x \quad\Longrightarrow\quad f'\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0.

Passo 3

Substituindo na fórmula da reta tangente:
y = 1 + 0\,(x - \tfrac\pi2) \quad\Longrightarrow\quad y = 1.

Passo 4

Como f'(\tfrac\pi2)=0, a expressão para a reta normal envolveria -1/0, que não está definida. Geometricamente, a reta tangente é horizontal e a normal correspondente é vertical:
x = \frac\pi2.

Resposta

A reta tangente é y=1.
A reta normal (vertical) é x=\tfrac\pi2.

Exercícios relacionados