Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(j) f(x)=\operatorname{tg} x no ponto de abscissa p=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, para f(x)=\tan x no ponto de abscissa p=\frac{\pi}{4},
  1. a reta tangente, dada por
y = f(p) + f'(p)\,(x-p),
  1. e, se f'(p)\neq0, a reta normal, dada por
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x-p).
Aqui vamos usar que \frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Calculamos f(p) e f'(p):
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1, \qquad f'(x)=\operatorname{sec}^2 x \;\Longrightarrow\; f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\bigl(\sqrt2\bigr)^2=2.

Passo 3

Substituindo em
y = f(p) + f'(p)\,(x-p)
temos
y = 1 + 2\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 4

Como f'(p)=2\neq0, a reta normal é
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x-p) = 1 - \frac{1}{2}\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

reta tangente:
y = 1 + 2\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr),
reta normal:
y = 1 - \frac{1}{2}\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).

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