Para cada uma das funções g dadas abaixo, encontre f tal que f(g(x))=x, para todo x \in D_{g}.
g(x)=x^{2}-4 x+3 e D_{g}=\{x \in \mathbb{R}: x \geq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função f tal que
f\bigl(g(x)\bigr)=x
para todo x em D_{g}=\{x\in\mathbb{R}:x\ge2\}, onde
g(x)=x^{2}-4x+3.
Ou seja, precisamos encontrar a inversa de g restrita a [2,\infty).

Passo 2

Mostramos que g é injetora em [2,\infty). Note que
g'(x)=2x-4,
e para x\ge2 temos g'(x)\ge0, com igualdade só em x=2. Logo g é crescente em [2,\infty) e, portanto, invertível nesse domínio.

Passo 3

Para achar a inversa, resolvemos
y = x^2 -4x +3
em função de x. Escrevendo em forma de equação quadrática:
x^2 -4x + (3 - y) = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 -4\,(3-y)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4y+4}}{2} = 2 \pm \sqrt{y+1}.

Passo 4

Como queremos a inversa em que x\ge2, escolhemos o sinal “ +”:
x = 2 + \sqrt{y+1}.
Isto define f no conjunto de valores de y que g atinge, que é \{y\ge -1\}. Assim,
f(y) = 2 + \sqrt{y+1}.

Resposta

f(x) = 2 + \sqrt{x+1}.

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