Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
O que vamos precisar é (a) entender o domínio e o comportamento assintótico, (b) explorar simetrias e curvas de nível, e (c) traduzir isso num desenho em perspectiva (superfície 3D) e num plano (curvas de nível).
Passo 2
Domínio e comportamento assintótico
O domínio é
O domínio é
pois em
o denominador é zero e
. Quando
, ou seja,
, temos
de modo que o plano
é assíntota da superfície.
Passo 3
Simetria e transformação radial
A função é par em e em
. Além disso, se fizermos a mudança de variáveis
A função é par em
então
o que mostra que, no sistema
, a superfície é radialmente simétrica, decaindo como
onde
.
Passo 4
Curvas de nível
Para um nível temos
Para um nível
Isso descreve elipses centradas na origem, cujos semi-eixos são
No plano
, portanto, as curvas de nível são elipses concêntricas que se alargam à medida que
diminui.
Passo 5
Esboço da superfície em 3D
- No plano
, marque o ponto de onde a superfície dispara para . - À medida que você afasta de
ao longo de qualquer direção (linha reta), o valor de decai rapidamente para zero, compondo um “funil” invertido, mas com paredes muito inclinadas perto da origem (polo de ordem 2). - Desenhe um pico central muito alto em
e faça a superfície deslizar suavemente em todas as direções até se aproximar do plano , sem atingi-lo.
Resposta
No plano
: curvas de nível elípticas concêntricas definidas por
No espaço
: superfície com pico em
e
, decaindo em todas as direções e tendo
como assíntota inferior.