Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo:
f(x, y)=\frac{1}{\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x,y)=\frac{1}{\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}}.
O que vamos precisar é (a) entender o domínio e o comportamento assintótico, (b) explorar simetrias e curvas de nível, e (c) traduzir isso num desenho em perspectiva (superfície 3D) e num plano (curvas de nível).

Passo 2

Domínio e comportamento assintótico
O domínio é
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},
pois em (0,0) o denominador é zero e f\to+\infty. Quando \|(x,y)\|\to\infty, ou seja, x^{2}+2y^{2}\to\infty, temos
f(x,y)\to0^{+},
de modo que o plano z=0 é assíntota da superfície.

Passo 3

Simetria e transformação radial
A função é par em x e em y. Além disso, se fizermos a mudança de variáveis
u = x,\quad v = \sqrt{2}\,y,
então
f(x,y)=\frac{1}{(u^{2}+v^{2})^{2}},
o que mostra que, no sistema (u,v), a superfície é radialmente simétrica, decaindo como 1/r^{4} onde r=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.

Passo 4

Curvas de nível
Para um nível f(x,y)=k>0 temos
\frac{1}{(x^{2}+2y^{2})^{2}}=k \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2y^{2} = \frac{1}{\sqrt{k}}.
Isso descreve elipses centradas na origem, cujos semi-eixos são
a = \bigl(1/\sqrt{k}\bigr)^{1/2} \quad\text{e}\quad b = \bigl(1/(2\sqrt{k})\bigr)^{1/2}.
No plano xy, portanto, as curvas de nível são elipses concêntricas que se alargam à medida que k diminui.

Passo 5

Esboço da superfície em 3D
  1. No plano xy, marque o ponto (0,0) de onde a superfície dispara para +\infty.
  2. À medida que você afasta de (0,0) ao longo de qualquer direção (linha reta), o valor de f decai rapidamente para zero, compondo um “funil” invertido, mas com paredes muito inclinadas perto da origem (polo de ordem 2).
  3. Desenhe um pico central muito alto em (0,0,z) e faça a superfície deslizar suavemente em todas as direções até se aproximar do plano z=0, sem atingi-lo.

Resposta

No plano xy: curvas de nível elípticas concêntricas definidas por
x^{2}+2y^{2}=\frac{1}{\sqrt{k}}\quad(k>0).
No espaço (x,y,z): superfície com pico em (0,0) e z\to+\infty, decaindo em todas as direções e tendo z=0 como assíntota inferior.

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