Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f(x)=ln |x|

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem da função
f(x) = ln|x|
Vamos usar o fato de que o logaritmo natural exige argumento positivo e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Para existir ln|x|, precisamos ter
|x| > 0,
ou seja, x neq 0. Portanto o domínio é
(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Para derivar ln|x| usamos dois casos:
  • Se x>0, então ln|x|=ln(x) e
ddxln(x)=1x
  • Se x<0, então ln|x|=ln(-x) e, pela regra da cadeia,
ddxln(-x)=1-xcdot(-1)=1x
Em ambos os casos obtemos
f'(x)=1x, xneq0

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
f'(x)=dfrac1x, com xneq0.

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