Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=-x1-4 x2 x2^prime=x1-x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos autovalores e autovetores, o sistema linear
x1'=-x1-4x2, x2'=x1-x2,
ou seja vec x' = Avec x com
A = -1 & -4 [6pt] 1 & -1
Vamos achar os autovalores, os autovetores, montar a solução geral real e, por fim, classificar o ponto de equilíbrio vec x=(0,0) e esboçar as trajetórias.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det-1-lambda & -4 [3pt]1 & -1-lambda =( -1-lambda )^2+4 =lambda^2+2lambda+5
As raízes são
lambda = -1pm2,i
]

Passo 3

Para resolvemos :
Escolhendo . Daí uma base real de soluções é dada por
]

Passo 4

Calculando essas partes real e imaginária, obtemos a forma real da solução geral:
vec x(t) =e^-tl[,C1 2cos2t[3pt]-sin2t ;+;C2 2sin2t[3pt]cos2tr],
once C1,C2 são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.
]

Passo 5

Como e^-tto0 quando tto+infty, todas as soluções tendem a (0,0) enquanto giram em torno da origem.

Passo 6

Os autovalores -1pm2i têm parte real negativa e parte imaginária não nula, logo a origem é um foco (espiral) estável. Para verificar o sentido da rotação, note que em t=0 com (x1,x2)=(1,0) temos (x1',x2')=(-1,1), ou seja, a trajetória vai para cima e para a esquerda, caracterizando rotação anti-horária.

Passo 7

Esboço da família de soluções: curvas espirais convergindo para a origem com rotação anti-horária.
y
        ↖↖↖↖↖↖↖↖↖
        ↖     ↖
        bul<=t─────────── bul<=t x
        ↘     ↘
        ↘↘↘↘↘↘↘↘↘

Resposta

A solução geral é
vec x(t) =e^-tl[,C1 2cos2t[3pt]-sin2t ;+;C2 2sin2t[3pt]cos2tr]
O ponto de equilíbrio (0,0) é um foco estável (espiral) porque os autovalores são -1pm2i com parte real negativa. As trajetórias giram no sentido anti-horário e espiralam para a origem quando tto+infty.
]

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