Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos autovalores e autovetores, o sistema linear
ou seja
com
Vamos achar os autovalores, os autovetores, montar a solução geral real e, por fim, classificar o ponto de equilíbrio
e esboçar as trajetórias.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
As raízes são
]
Passo 3
Para
resolvemos
:
Escolhendo
dá
. Daí uma base real de soluções é dada por
]
Passo 4
Calculando essas partes real e imaginária, obtemos a forma real da solução geral:
once
são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.
]
]
Passo 5
Como
quando
, todas as soluções tendem a
enquanto giram em torno da origem.
Passo 6
Os autovalores
têm parte real negativa e parte imaginária não nula, logo a origem é um foco (espiral) estável. Para verificar o sentido da rotação, note que em
com
temos
, ou seja, a trajetória vai para cima e para a esquerda, caracterizando rotação anti-horária.
Passo 7
Esboço da família de soluções: curvas espirais convergindo para a origem com rotação anti-horária.
y
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↖ ↖
───────────
x
↘ ↘
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↖ ↖
↘ ↘
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Resposta
A solução geral é
O ponto de equilíbrio
é um foco estável (espiral) porque os autovalores são
com parte real negativa. As trajetórias giram no sentido anti-horário e espiralam para a origem quando
.
]
]