Para cada uma das funções f(x, y) abaixo, responda às seguintes perguntas:
  • Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y).
  • Calcule a taxa de variação de f(x, y) no ponto (1,1) na direção \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).
  • Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto ( 1,1 ).
  • Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  • Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
Funções:
(a) f(x, y)=x \ln y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos deu (peguei tudo do enunciado):
  • Função: f(x,y)=x\ln y. (Domínio implícito: y>0.)
  • Ponto de interesse: (1,1).
  • Direção para a taxa de variação: \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
    As perguntas a responder são, para esta função:
  1. Encontre o vetor gradiente \nabla f(x,y).
  2. Calcule a taxa de variação de f no ponto (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
  3. Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação em (1,1).
  4. Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  5. Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente à curva de nível que passa por (1,1).

Passo 2

Definição e ideia do que é o gradiente — a ferramenta que vamos usar.
  • O gradiente de f é o vetor que reúne as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr).
  • Aqui f_x significa a derivada parcial de f em relação a x (tratar y como constante) e f_y significa a derivada parcial em relação a y (tratar x como constante).
  • Intuição rápida: \nabla f aponta na direção de maior aumento de f e seu comprimento diz quão rápido f cresce nessa direção.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x\ln y.
  • Para f_x: tratamos y como constante. A função é x vezes uma constante \ln y, então
f_x(x,y)=\ln y.
  • Para f_y: tratamos x como constante. Derivada de \ln y é 1/y, então
f_y(x,y)=x\cdot\frac{1}{y}=\frac{x}{y}.

Passo 4

Escrever o gradiente geral e avaliá-lo no ponto (1,1).
  • Gradiente geral:
\nabla f(x,y)=\left(\ln y,\frac{x}{y}\right).
  • Avaliando em (1,1): \ln 1=0 e \dfrac{1}{1}=1, então
\nabla f(1,1)=\left(0,1\right).
Comentário didático: isso significa que, perto de (1,1), a direção de maior aumento é “para cima” no sentido do eixo y.

Passo 5

Direcional: fórmula da taxa de variação e verificação de que a direção dada é unitária.
  • Fórmula: a taxa de variação de f em (1,1) na direção de um vetor unitário u é
D_{u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u.
  • Verificar que u=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) é unitário:
\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Logo está tudo certo: u é unitário.

Passo 6

Calcular explicitamente a taxa de variação pedida.
  • Usar produto escalar com \nabla f(1,1)=\left(0,1\right):
D_{u}f(1,1)=\left(0,1\right)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =0\cdot\frac{3}{5}+1\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{5}.
Interpretação rápida: movendo-se na direção dada a partir de (1,1), a função cresce à razão 4/5 por unidade de deslocamento.

Passo 7

Direção e magnitude da máxima taxa de variação.
  • Teorema útil (explicado): a maior taxa de variação de f em um ponto ocorre na direção de \nabla f e vale o módulo do gradiente.
  • Calcular o módulo de \nabla f(1,1)=\left(0,1\right):
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{0^2+1^2}=1.
  • O vetor unitário na direção da máxima taxa é o gradiente normalizado:
\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(0,1)}{1}=(0,1).
Comentário: aqui o gradiente já era unitário, então não mudou ao normalizar.

Passo 8

Encontrar um vetor unitário tangente à curva de nível que passa por (1,1).
  • Propriedade importante: vetores tangentes à curva de nível em um ponto são ortogonais ao gradiente nesse ponto.
  • Com \nabla f(1,1)=(0,1), qualquer vetor perpendicular a (0,1) tem a forma (a,0). Um vetor unitário dessa forma é (1,0) (ou (-1,0); o enunciado pediu “um vetor unitário”, então basta um).
  • Verificação rápida: (0,1)\cdot(1,0)=0, confirma ortogonalidade.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(\ln y,\dfrac{x}{y}\right)
Taxa de variação em (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right): \dfrac{4}{5}
Vetor unitário na direção da taxa máxima em (1,1): \left(0,1\right)
Maior inclinação (módulo do gradiente) em (1,1): 1
Um vetor unitário tangente à curva de nível em (1,1): \left(1,0\right)

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