Para cada uma das funções
abaixo, responda às seguintes perguntas:
- Encontre o vetor gradiente
.
- Calcule a taxa de variação de
no ponto
na direção
.
- Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto ( 1,1 ).
- Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto
.
- Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por
.
Funções:
(a)
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos deu (peguei tudo do enunciado):
- Função:
. (Domínio implícito: .) - Ponto de interesse:
. - Direção para a taxa de variação:
.
As perguntas a responder são, para esta função:
- Encontre o vetor gradiente
. - Calcule a taxa de variação de
no ponto na direção . - Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação em
. - Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto
. - Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente à curva de nível que passa por
.
Passo 2
Definição e ideia do que é o gradiente — a ferramenta que vamos usar.
- O gradiente de
é o vetor que reúne as derivadas parciais de :
- Aqui
significa a derivada parcial de em relação a (tratar como constante) e significa a derivada parcial em relação a (tratar como constante). - Intuição rápida:
aponta na direção de maior aumento de e seu comprimento diz quão rápido cresce nessa direção.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: tratamos como constante. A função é vezes uma constante , então
- Para
: tratamos como constante. Derivada de é , então
Passo 4
Escrever o gradiente geral e avaliá-lo no ponto
.
- Gradiente geral:
- Avaliando em
: e , então
Comentário didático: isso significa que, perto de
, a direção de maior aumento é “para cima” no sentido do eixo
.
Passo 5
Direcional: fórmula da taxa de variação e verificação de que a direção dada é unitária.
- Fórmula: a taxa de variação de
em na direção de um vetor unitário é
- Verificar que
é unitário:
Logo está tudo certo:
é unitário.
Passo 6
Calcular explicitamente a taxa de variação pedida.
- Usar produto escalar com
:
Interpretação rápida: movendo-se na direção dada a partir de
, a função cresce à razão
por unidade de deslocamento.
Passo 7
Direção e magnitude da máxima taxa de variação.
- Teorema útil (explicado): a maior taxa de variação de
em um ponto ocorre na direção de e vale o módulo do gradiente. - Calcular o módulo de
:
- O vetor unitário na direção da máxima taxa é o gradiente normalizado:
Comentário: aqui o gradiente já era unitário, então não mudou ao normalizar.
Passo 8
Encontrar um vetor unitário tangente à curva de nível que passa por
.
- Propriedade importante: vetores tangentes à curva de nível em um ponto são ortogonais ao gradiente nesse ponto.
- Com
, qualquer vetor perpendicular a tem a forma . Um vetor unitário dessa forma é (ou ; o enunciado pediu “um vetor unitário”, então basta um). - Verificação rápida:
, confirma ortogonalidade.
Resposta
Taxa de variação em
Vetor unitário na direção da taxa máxima em
Maior inclinação (módulo do gradiente) em
Um vetor unitário tangente à curva de nível em