Seja f(x, y)=\exp \left(x y^{2}\right).
(a) Determine o vetor gradiente de f no ponto (x, y).
(b) Calcule o gradiente no ponto (2,3).
(c) Qual é a maior inclinação (derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big) e pede três coisas:
  • (a) determinar o vetor gradiente de f no ponto (x,y) (ou seja, a expressão geral do gradiente);
  • (b) calcular o gradiente no ponto (2,3);
  • (c) encontrar a maior inclinação (a derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big).
  • O ponto onde se pede a avaliação é (2,3).

Passo 2

O que é gradiente e por que ele importa (explicação didática, sem pular etapas).
  • O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Escrevemos
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{pmatrix}.
  • Intuição: cada componente diz a taxa de variação de f quando mudamos apenas uma variável. A primeira componente (derivada parcial em x) mostra a variação se só mexermos em x mantendo y fixo; a segunda, se só mexermos em y mantendo x fixo.
  • Regra importante que vamos usar: se f(x,y)=\exp(u(x,y)), então a derivada parcial é dada pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\exp(u(x,y))=\exp(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\exp(u(x,y))=\exp(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y)=x y^{2}.]

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) passo a passo.
  • Defina u(x,y)=x y^{2}. Então \dfrac{\partial u}{\partial x}=y^{2}, porque derivando x y^{2} em relação a x trata-se de y^{2} como constante.
  • Aplicando a regra da cadeia para f=\exp(u):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big)\cdot y^{2}.
  • Podemos escrever de forma mais limpa:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{2}\,e^{x y^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) passo a passo.
  • Novamente u(x,y)=x y^{2}. Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=2 x y, porque derivando y^{2} obtém-se 2y e multiplica por x.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big)\cdot 2 x y.
  • Em forma simplificada:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2 x y\,e^{x y^{2}}.

Passo 5

Escrever o gradiente geral reunindo as duas componentes.
  • Com as componentes obtidas:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} y^{2}\,e^{x y^{2}}\\[6pt] 2 x y\,e^{x y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Comentário rápido e intuitivo: o fator comum e^{x y^{2}} mostra que a função cresce exponencialmente com x y^{2}; as outras partes ( y^{2} e 2xy) modulam essa taxa dependendo das direções x e y.]

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto (2,3).
  • Primeiro calcule y^{2} e 2 x y com x=2, y=3:
y^{2}=3^{2}=9,\qquad 2 x y=2\cdot2\cdot3=12.
  • O expoente fica x y^{2}=2\cdot 9=18, então e^{x y^{2}}=e^{18}.
  • Substituindo nas componentes:
\nabla f(2,3)=\begin{pmatrix} 9\,e^{18}\\[6pt] 12\,e^{18} \end{pmatrix}.]

Passo 7

O que é a derivada direcional máxima e como encontrá-la (explicação didática).
  • Para uma função f diferenciável, a derivada direcional em direção a um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}.
  • A maior taxa de crescimento de f num ponto (a derivada direcional máxima) ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente. Então a derivada direcional máxima em (x,y) é o módulo (norma) do gradiente:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\|\nabla f(x,y)\|.
  • Assim basta calcular a norma do gradiente no ponto (2,3).

Passo 8

Calcular a norma de \nabla f(2,3) e concluir a maior inclinação.
  • A norma é
\|\nabla f(2,3)\|=\sqrt{(9\,e^{18})^{2}+(12\,e^{18})^{2}}.
  • Colocando e^{18} em evidência:
\|\nabla f(2,3)\|=e^{18}\sqrt{9^{2}+12^{2}}=e^{18}\sqrt{81+144}=e^{18}\sqrt{225}=15\,e^{18}.
  • Portanto a maior inclinação (derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3) é 15\,e^{18}.
  • (Observação útil: o vetor direção unitário onde ocorre essa máxima é \dfrac{1}{15}\begin{pmatrix}9\\[4pt]12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/5\\[4pt]4/5\end{pmatrix}, ou seja, a direção do gradiente.)]

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}y^{2}\,e^{x y^{2}}\\[6pt]2 x y\,e^{x y^{2}}\end{pmatrix}
(b) \nabla f(2,3)=\begin{pmatrix}9\,e^{18}\\[6pt]12\,e^{18}\end{pmatrix}
(c) \displaystyle 15\,e^{18}]

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