Seja f(x, y)=\exp \left(x y^{2}\right).
(a) Determine o vetor gradiente de f no ponto (x, y).
(b) Calcule o gradiente no ponto (2,3).
(c) Qual é a maior inclinação (derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3) ?
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big) e pede três coisas:
(a) determinar o vetor gradiente de f no ponto (x,y) (ou seja, a expressão geral do gradiente);
(b) calcular o gradiente no ponto (2,3);
(c) encontrar a maior inclinação (a derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3).
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big).
O ponto onde se pede a avaliação é (2,3).
Passo 2
O que é gradiente e por que ele importa (explicação didática, sem pular etapas).
O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Escrevemos
Intuição: cada componente diz a taxa de variação de f quando mudamos apenas uma variável. A primeira componente (derivada parcial em x) mostra a variação se só mexermos em x mantendo y fixo; a segunda, se só mexermos em y mantendo x fixo.
Regra importante que vamos usar: se f(x,y)=\exp(u(x,y)), então a derivada parcial é dada pela regra da cadeia:
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) passo a passo.
Novamente u(x,y)=x y^{2}. Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=2 x y, porque derivando y^{2} obtém-se 2y e multiplica por x.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\exp\!\big(x y^{2}\big)\cdot 2 x y.
Em forma simplificada:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2 x y\,e^{x y^{2}}.
Passo 5
Escrever o gradiente geral reunindo as duas componentes.
Com as componentes obtidas:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} y^{2}\,e^{x y^{2}}\\[6pt] 2 x y\,e^{x y^{2}} \end{pmatrix}.
Comentário rápido e intuitivo: o fator comum e^{x y^{2}} mostra que a função cresce exponencialmente com x y^{2}; as outras partes (y^{2} e 2xy) modulam essa taxa dependendo das direções x e y.]
Passo 6
Avaliar o gradiente no ponto (2,3).
Primeiro calcule y^{2} e 2 x y com x=2, y=3:
y^{2}=3^{2}=9,\qquad 2 x y=2\cdot2\cdot3=12.
O expoente fica x y^{2}=2\cdot 9=18, então e^{x y^{2}}=e^{18}.
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}.
A maior taxa de crescimento de f num ponto (a derivada direcional máxima) ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente. Então a derivada direcional máxima em (x,y) é o módulo (norma) do gradiente:
Portanto a maior inclinação (derivada direcional máxima) da superfície no ponto (2,3) é 15\,e^{18}.
(Observação útil: o vetor direção unitário onde ocorre essa máxima é \dfrac{1}{15}\begin{pmatrix}9\\[4pt]12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/5\\[4pt]4/5\end{pmatrix}, ou seja, a direção do gradiente.)]
Resposta
(a) \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}y^{2}\,e^{x y^{2}}\\[6pt]2 x y\,e^{x y^{2}}\end{pmatrix}