Para cada uma das funções lineares T abaixo encontre a matriz A tal que T(x)=A x :
c) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} ; T(x)=x_{1}-2 x_{2}+x_{3} ;
Passo 1
O enunciado pede uma matriz A tal que, para todo vetor x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\in\mathbb{R}^{3},
T(x)=A\,x
onde T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} é dada por
T(x)=x_{1}-2x_{2}+x_{3}.
O conteúdo aqui é transformação linear em coordenadas canônicas: se A é de tamanho 1\times3, então A x é uma combinação linear de x_{1},x_{2},x_{3} cujos coeficientes são as entradas de A.
Passo 2
Para achar A, basta observar que
A x = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix} = a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}
deve ser igual a
x_{1}-2x_{2}+x_{3}.
Passo 3
Comparando coeficientes em relação a x_{1}, x_{2} e x_{3}, vemos que