Para cada uma das funções lineares T abaixo encontre a matriz A tal que T(x)=A x :
b) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} ; T(x)=\binom{x_{1}-x_{3}}{x_{2}-2 x_{3}} ;

Passo 1

O enunciado apresenta uma transformação linear \!T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}!
definida por
T(x)=\begin{pmatrix}x_{1}-x_{3}\x_{2}-2x_{3}\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a matriz A de tamanho 2\times3 tal que \!T(x)=A\,x.! Para isso, usaremos que as colunas de A são as imagens de T aplicadas aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Calculamos T nos vetores da base canônica
e_{1}=(1,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0),\quad e_{3}=(0,0,1).
Então
T(e_{1})=\begin{pmatrix}1-0\\\ 0-2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad T(e_{2})=\begin{pmatrix}0-0\\\ 1-2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad T(e_{3})=\begin{pmatrix}0-1\\\ 0-2\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz A é formada pelas colunas T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}) na mesma ordem. Logo,
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz associada à transformação T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

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