Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa, seu domínio e sua imagem. Aqui vamos usar conhecimento sobre funções exponenciais (monotonicidade e domínio natural) e resolver a equação
para obter
.
Passo 2
Como
é composta de uma exponencial com coeficiente positivo
em
, ela é estritamente crescente em todo
. Logo é injetora. Além disso, o domínio natural da exponencial é
, então
Passo 3
Para achar a inversa, começamos definindo
Somamos 5 em ambos os lados:
Aplicamos logaritmo natural:
Isolando
:
Portanto a inversa é
Passo 4
Para que
esteja bem definida, é preciso
, ou seja
. Isso diz que a imagem de
(o contradomínio para o qual ela é sobrejetora) é
Como consequência, o domínio de
é
.
Resposta
A função
é invertível.
A inversa é
A inversa é
O domínio de
é
e sua imagem é
.