Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
g(x)=e^{2 x+6}-5

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
g(x)=e^{2x+6}-5
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa, seu domínio e sua imagem. Aqui vamos usar conhecimento sobre funções exponenciais (monotonicidade e domínio natural) e resolver a equação y=g(x) para obter g^{-1}.

Passo 2

Como g(x)=e^{2x+6}-5 é composta de uma exponencial com coeficiente positivo 2 em x, ela é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Logo é injetora. Além disso, o domínio natural da exponencial é \mathbb{R}, então
\text{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para achar a inversa, começamos definindo
y = e^{2x+6}-5.
Somamos 5 em ambos os lados:
y + 5 = e^{2x+6}.
Aplicamos logaritmo natural:
\ln(y+5) = 2x+6.
Isolando x:
x = \frac{\ln(y+5)-6}{2} = \frac{1}{2}\,\ln(y+5) \;-\; 3.
Portanto a inversa é
g^{-1}(y)=\frac{1}{2}\ln\bigl(y+5\bigr)-3.

Passo 4

Para que g^{-1}(y) esteja bem definida, é preciso y+5>0, ou seja y>-5. Isso diz que a imagem de g (o contradomínio para o qual ela é sobrejetora) é
\text{Im}(g)=(-5,\infty).
Como consequência, o domínio de g^{-1} é (-5,\infty).

Resposta

A função g é invertível.
A inversa é
g^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x+5\bigr)-3.
O domínio de g é \mathbb{R} e sua imagem é (-5,\infty).

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