Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é invertível. Caso seja, queremos achar sua inversa
, além de identificar o domínio e a imagem de
(e, por consequência, de
).
Passo 2
Para estudar a injetividade de
, fazemos a mudança de variável
Quando
percorre
, temos
No intervalo
, a função
é contínua e estritamente crescente, logo injetiva. Assim,
é injetiva em seu domínio e, como é contínua, é invertível.
Passo 3
Para achar a imagem de
, basta ver o valor de
quando
vai de
a
. Como
seguimos que
Passo 4
Para obter a inversa, escrevemos
Logo,
O domínio de
é a imagem de
, ou seja
, e a imagem de
é o domínio original de
, isto é
.
Resposta
Domínio de
Imagem de
Inversa:
com imagem de
igual a
.