Para cada uma das funções de transferência em malha fechada abaixo, diga quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário:
T(s)=\frac{s+8}{s^{5}-s^{4}+4 s^{3}-4 s^{2}+3 s-2}

Passo 1

O enunciado pede: para a função de transferência em malha fechada abaixo,
T(s)=\frac{s+8}{s^{5}-s^{4}+4 s^{3}-4 s^{2}+3 s-2},
dizer quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário. Informações relevantes dadas: o denominador
p(s)=s^{5}-s^{4}+4s^{3}-4s^{2}+3s-2
é o polinômio cujas raízes são os polos de T(s). O numerador (s+8) não cancela nenhum polo (posso checar isso se necessário), então basta analisar as raízes de p(s).

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem pular teoria): vou aplicar o critério de Routh–Hurwitz para contar o número de raízes de p(s) com parte real positiva (polos no semiplano direito). O critério de Routh diz que o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh construída a partir dos coeficientes do polinômio. Se, durante a construção, uma linha inteira ficar zero, isso indica existência de raízes simétricas sobre o eixo imaginário (possíveis polos no eixo imaginário) e há procedimento com polinômios auxiliares. Se apenas o primeiro elemento de uma linha for zero (mas a linha não for toda zero), substituímos esse elemento por um pequeno \varepsilon>0 e tomamos o limite \varepsilon\to0^+ para decidir os sinais — isso é padrão e suficiente para contar mudanças de sinal. Além disso, vou verificar explicitamente se existem raízes puramente imaginárias substituindo s=j\omega em p(s) e resolvendo as partes real e imaginária simultaneamente (se existir \omega\neq0 que satisfaça ambas as equações, há polo(s) no eixo imaginário).

Passo 3

Vamos escrever os coeficientes do polinômio p(s)=s^{5}-s^{4}+4s^{3}-4s^{2}+3s-2:
\text{coeficientes: } a_5=1,\; a_4=-1,\; a_3=4,\; a_2=-4,\; a_1=3,\; a_0=-2.
Montamos a primeira duas linhas da tabela de Routh (linha s^5 e s^4) com esses coeficientes:
\begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 4 & 3\\hline s^4 & -1 & -4 & -2 \end{array}

Passo 4

Calculamos a linha s^3 usando a regra padrão. O primeiro elemento da linha s^3 é
b_1=\frac{(-1)\cdot 4 - 1\cdot(-4)}{-1}=\frac{-4+4}{-1}=0.
O segundo elemento é
b_2=\frac{(-1)\cdot 3 - 1\cdot(-2)}{-1}=\frac{-3+2}{-1}=1.
Portanto a linha s^3 é
s^3:\quad [\,0,\;1\,].
Aqui temos o caso em que o primeiro elemento da linha é zero, mas a linha não é inteira zero. Procedimento padrão: substituímos esse zero por um pequeno \varepsilon>0 e seguimos tomando o limite \varepsilon\to0^+ para determinar os sinais na primeira coluna. Então vou colocar b_1=\varepsilon com \varepsilon\to0^+.

Passo 5

Com s^3 aproximado por [\,\varepsilon,\;1\,], calculamos a linha s^2. Os elementos da linha s^2 (chame-os de c_1,c_2) são:
c_1=\frac{\varepsilon\cdot(-4)-(-1)\cdot 1}{\varepsilon}=\frac{-4\varepsilon+1}{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}-4,
c_2=\frac{\varepsilon\cdot(-2)-(-1)\cdot 0}{\varepsilon}=\frac{-2\varepsilon}{\varepsilon}=-2.
Para \varepsilon muito pequeno, c_1\approx\frac{1}{\varepsilon} é um número grande e positivo. Assim a linha s^2 é aproximadamente
s^2:\quad\left[\,\frac{1}{\varepsilon}-4,\;-2\,\right]\approx[\,+\text{grande},\;-2\,].

Passo 6

Agora calculamos a linha s^1 usando s^2 e s^3. O primeiro elemento da linha s^1 (chame de d_1) é
d_1=\frac{(\frac{1}{\varepsilon}-4)\cdot 1 - \varepsilon\cdot(-2)}{\frac{1}{\varepsilon}-4} =\frac{\frac{1}{\varepsilon}-4+2\varepsilon}{\frac{1}{\varepsilon}-4}.
Multiplicando numerador e denominador por \varepsilon
d_1=\frac{1-4\varepsilon+2\varepsilon^2}{1-4\varepsilon}\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{}1.
O segundo elemento da linha s^1 será zero (pois não há mais termos relevantes à direita). Assim, tomando o limite,
s^1:\quad[\,d_1,\;0\,]\xrightarrow{\varepsilon\to0^+}[\,1,\;0\,].

Passo 7

A última linha s^0 é simplesmente o termo constante do polinômio (ou pode ser obtida pela fórmula usual); aqui
s^0:\quad -2.
Agora extraímos a primeira coluna da tabela de Routh (tomando os limites \varepsilon\to0^+ onde foi usado):
\begin{array}{c|c} s^5 & 1\\\ s^4 & -1\\\ s^3 & 0^+ \;(\text{usei }\varepsilon\to0^+)\\\ s^2 & +\\ (\text{muito grande})\\\ s^1 & +1\\\ s^0 & -2 \end{array}
Convertendo para sinais (apenas a primeira coluna): +,\;-,\;(+\text{ pequeno}),\;(+),\;(+),\;(-).
Contamos as mudanças de sinal ao descer a primeira coluna:
  • + para - : 1 mudança,
  • - para + : 2ª mudança,
  • + para + : sem mudança,
  • + para + : sem mudança,
  • + para - : 3ª mudança.
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com parte real positiva (polos no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal: portanto existem 3 polos no semiplano direito.

Passo 8

Como o polinômio é de grau 5, o total de polos é 5. Se 3 estão no semiplano direito e não há repetições/cancelamentos com o numerador, restam 5-3=2 polos com parte real negativa, a não ser que haja polos exatamente no eixo imaginário. Precisamos verificar explicitamente se existem polos no eixo imaginário (raízes puramente imaginárias s=j\omega).
Substituímos s=j\omega em p(s) e separamos parte real e imaginária. Usando (j\omega)^2=-\omega^2, (j\omega)^3=-j\omega^3, (j\omega)^4=\omega^4, (j\omega)^5=j\omega^5, obtemos
p(j\omega)=j\omega^5-\omega^4-4j\omega^3+4\omega^2+3j\omega-2.
Separando em real e imaginário:
\text{Re}\{p(j\omega)\}=-\omega^4+4\omega^2-2,
\text{Im}\{p(j\omega)\}=\omega^5-4\omega^3+3\omega=\omega(\omega^4-4\omega^2+3).
Para existir raiz puramente imaginária não nula, precisamos de \text{Re}\{p(j\omega)\}=0 e \text{Im}\{p(j\omega)\}=0 com \omega\neq0.
Resolvo cada equação:
Da parte real,
-\omega^4+4\omega^2-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \omega^4-4\omega^2+2=0.
Colocando x=\omega^2 obtemos
x^2-4x+2=0\quad\Rightarrow\quad x=2\pm\sqrt{2}.
Logo \omega^2\in\{2+\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}\} (ambos positivos).
Da parte imaginária,
\omega(\omega^4-4\omega^2+3)=0\quad\Rightarrow\quad \omega=0 \text{ ou } \omega^4-4\omega^2+3=0.
Novamente com x=\omega^2 a segunda equação dá
x^2-4x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=1\\ \text{ou}\\ x=3,
ou seja \omega^2\in\{1,3\} (ou \omega=0).
Comparando os valores possíveis para \omega^2 vindos das duas equações, vemos que
\{2\pm\sqrt{2}\} não coincide com \{0,1,3\}. Portanto não existe \omega (nem \omega=0) que zere simultaneamente parte real e imaginária. Conclusão: não há raízes puramente imaginárias.

Passo 9

Resumo das conclusões:
  • Pelo critério de Routh obtivemos 3 mudanças de sinal na primeira coluna → 3 polos com parte real positiva (semiplano direito).
  • Não há raízes sobre o eixo imaginário (verificação direta com s=j\omega mostrou incompatibilidade).
  • Logo os polos restantes são no semiplano esquerdo: 5-3-0=2 polos no semiplano esquerdo.

Resposta

Polos no semiplano esquerdo: 2
Polos no semiplano direito: 3
Polos no eixo imaginário: 0

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