Para cada uma das funções de transferência em malha fechada abaixo, diga quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário:
dizer quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário. Informações relevantes dadas: o denominador
p(s)=s^{5}-s^{4}+4s^{3}-4s^{2}+3s-2
é o polinômio cujas raízes são os polos de T(s). O numerador (s+8) não cancela nenhum polo (posso checar isso se necessário), então basta analisar as raízes de p(s).
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem pular teoria): vou aplicar o critério de Routh–Hurwitz para contar o número de raízes de p(s) com parte real positiva (polos no semiplano direito). O critério de Routh diz que o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh construída a partir dos coeficientes do polinômio. Se, durante a construção, uma linha inteira ficar zero, isso indica existência de raízes simétricas sobre o eixo imaginário (possíveis polos no eixo imaginário) e há procedimento com polinômios auxiliares. Se apenas o primeiro elemento de uma linha for zero (mas a linha não for toda zero), substituímos esse elemento por um pequeno \varepsilon>0 e tomamos o limite \varepsilon\to0^+ para decidir os sinais — isso é padrão e suficiente para contar mudanças de sinal. Além disso, vou verificar explicitamente se existem raízes puramente imaginárias substituindo s=j\omega em p(s) e resolvendo as partes real e imaginária simultaneamente (se existir \omega\neq0 que satisfaça ambas as equações, há polo(s) no eixo imaginário).
Passo 3
Vamos escrever os coeficientes do polinômio p(s)=s^{5}-s^{4}+4s^{3}-4s^{2}+3s-2:
Aqui temos o caso em que o primeiro elemento da linha é zero, mas a linha não é inteira zero. Procedimento padrão: substituímos esse zero por um pequeno \varepsilon>0 e seguimos tomando o limite \varepsilon\to0^+ para determinar os sinais na primeira coluna. Então vou colocar b_1=\varepsilon com \varepsilon\to0^+.
Passo 5
Com s^3 aproximado por [\,\varepsilon,\;1\,], calculamos a linha s^2. Os elementos da linha s^2 (chame-os de c_1,c_2) são:
Convertendo para sinais (apenas a primeira coluna): +,\;-,\;(+\text{ pequeno}),\;(+),\;(+),\;(-).
Contamos as mudanças de sinal ao descer a primeira coluna:
+ para - : 1 mudança,
- para + : 2ª mudança,
+ para + : sem mudança,
+ para + : sem mudança,
+ para - : 3ª mudança.
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com parte real positiva (polos no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal: portanto existem 3 polos no semiplano direito.
Passo 8
Como o polinômio é de grau 5, o total de polos é 5. Se 3 estão no semiplano direito e não há repetições/cancelamentos com o numerador, restam 5-3=2 polos com parte real negativa, a não ser que haja polos exatamente no eixo imaginário. Precisamos verificar explicitamente se existem polos no eixo imaginário (raízes puramente imaginárias s=j\omega).
Substituímos s=j\omega em p(s) e separamos parte real e imaginária. Usando (j\omega)^2=-\omega^2, (j\omega)^3=-j\omega^3, (j\omega)^4=\omega^4, (j\omega)^5=j\omega^5, obtemos
Comparando os valores possíveis para \omega^2 vindos das duas equações, vemos que \{2\pm\sqrt{2}\} não coincide com \{0,1,3\}. Portanto não existe \omega (nem \omega=0) que zere simultaneamente parte real e imaginária. Conclusão: não há raízes puramente imaginárias.
Passo 9
Resumo das conclusões:
Pelo critério de Routh obtivemos 3 mudanças de sinal na primeira coluna → 3 polos com parte real positiva (semiplano direito).
Não há raízes sobre o eixo imaginário (verificação direta com s=j\omega mostrou incompatibilidade).
Logo os polos restantes são no semiplano esquerdo: 5-3-0=2 polos no semiplano esquerdo.
Resposta
Polos no semiplano esquerdo: 2
Polos no semiplano direito: 3
Polos no eixo imaginário: 0